Um caminhão e um automóvel estão em rota de colisão em direção a um cruzamento. Suas velocidades iniciais fazem um ângulo de 90^circ entre si e a massa do caminhão é o dobro da massa do automóvel. Ao colidirem, o caminhão e o automóvel ficam presos um ao outro e são arrastados a um ângulo de 60^circ a partir da direção inicial do automóvel. Supondo conhecido o módulo da velocidade inicial do caminhão vc, qual era a velocidade do automóvel antes da colisão?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o problema está nos pedindo. Temos um caminhão e um automóvel indo em direção a um cruzamento, com suas velocidades formando um ângulo de . A massa do caminhão é o dobro da massa do automóvel. Quando eles colidem, ficam presos um ao outro e passam a se mover formando um ângulo de em relação à direção inicial do automóvel. O que queremos descobrir é qual era a velocidade do automóvel antes da colisão, sabendo a velocidade inicial do caminhão .
Para resolver isso, vamos usar o princípio da conservação da quantidade de movimento. Isso significa que a quantidade de movimento total antes da colisão é igual à quantidade de movimento total depois da colisão. Precisamos analisar as componentes das velocidades nas direções x e y para aplicar esse princípio corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos definir um sistema de coordenadas para facilitar nossos cálculos. Vamos considerar que:
  • O automóvel está se movendo na direção positiva do eixo x com velocidade .
  • O caminhão está se movendo na direção positiva do eixo y com velocidade .
Isso significa que as direções das velocidades formam um ângulo de , como descrito no problema.

Passo 3

Antes da colisão, a quantidade de movimento (ou momento linear) de cada veículo pode ser calculada da seguinte forma:
  • Automóvel:
    • Massa:
    • Velocidade:
    • Quantidade de movimento na direção x:
  • Caminhão:
    • Massa: (o dobro do automóvel)
    • Velocidade:
    • Quantidade de movimento na direção y:

Passo 4

Após a colisão, os dois veículos ficam presos e se movem juntos. A massa total combinada é:
mtotal = m + 2m = 3m
A velocidade resultante Vx = V cdot cos(60^circ) faz um ângulo de Vy = V cdot sin(60^circ) com a direção inicial do automóvel (eixo x). Podemos decompor essa velocidade nas direções x e y usando funções trigonométricas:
  • Componente x da velocidade após a colisão:
    p'x = 3m cdot V cdot cos(60^circ)
  • Componente y da velocidade após a colisão:
    p'y = 3m cdot V cdot sin(60^circ)
Portanto, a quantidade de movimento após a colisão nas direções x e y é:
  • Na direção x:
  • Na direção y:

Passo 5

Agora, aplicando a conservação da quantidade de movimento para cada direção:
  • Direção x:
    px = p'x
    m cdot va = 3m cdot V cdot cos(60^circ)
    Podemos simplificar removendo va = 3V cdot cos(60^circ) de ambos os lados:
    py = p'y
  • Direção y:
    2m cdot vc = 3m cdot V cdot sin(60^circ)
    2vc = 3V cdot sin(60^circ)
    Novamente, simplificando removendo :

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( va = 3V cdot cos(60^circ) e 2vc = 3V cdot sin(60^circ) ):
  1. V = va3 cdot cos(60^circ)
  2. V = va3 cdot 0,5 = va1,5
Podemos resolver uma das equações para 2vc = 3 cdot ( va1,5 ) cdot sin(60^circ) e substituir na outra. Vamos resolver a primeira equação para 2vc = 3 cdot ( va1,5 ) cdot raiz32 :
2vc = 2 cdot va cdot raiz32
Sabemos que 2vc = va cdot raiz3 , então:
va = 2vcraiz3
Agora, substituímos esse valor de na segunda equação:
Sabemos que , então:
Simplificando:
Agora, isolamos :

Resposta

A velocidade do automóvel antes da colisão era:
va = 2vcraiz3

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