Um caminhão e um automóvel estão em rota de colisão em direção a um cruzamento. Suas velocidades iniciais fazem um ângulo de
entre si e a massa do caminhão é o dobro da massa do automóvel. Ao colidirem, o caminhão e o automóvel ficam presos um ao outro e são arrastados a um ângulo de
a partir da direção inicial do automóvel. Supondo conhecido o módulo da velocidade inicial do caminhão
, qual era a velocidade do automóvel antes da colisão?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o problema está nos pedindo. Temos um caminhão e um automóvel indo em direção a um cruzamento, com suas velocidades formando um ângulo de
. A massa do caminhão é o dobro da massa do automóvel. Quando eles colidem, ficam presos um ao outro e passam a se mover formando um ângulo de
em relação à direção inicial do automóvel. O que queremos descobrir é qual era a velocidade do automóvel antes da colisão, sabendo a velocidade inicial do caminhão
.
Para resolver isso, vamos usar o princípio da conservação da quantidade de movimento. Isso significa que a quantidade de movimento total antes da colisão é igual à quantidade de movimento total depois da colisão. Precisamos analisar as componentes das velocidades nas direções x e y para aplicar esse princípio corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos definir um sistema de coordenadas para facilitar nossos cálculos. Vamos considerar que:
- O automóvel está se movendo na direção positiva do eixo x com velocidade
. - O caminhão está se movendo na direção positiva do eixo y com velocidade
.
Isso significa que as direções das velocidades formam um ângulo de
, como descrito no problema.
Passo 3
Antes da colisão, a quantidade de movimento (ou momento linear) de cada veículo pode ser calculada da seguinte forma:
-
Automóvel:
- Massa:
- Velocidade:
- Quantidade de movimento na direção x:
- Massa:
-
Caminhão:
- Massa:
(o dobro do automóvel) - Velocidade:
- Quantidade de movimento na direção y:
- Massa:
Passo 4
Após a colisão, os dois veículos ficam presos e se movem juntos. A massa total combinada é:
A velocidade resultante
faz um ângulo de
com a direção inicial do automóvel (eixo x). Podemos decompor essa velocidade nas direções x e y usando funções trigonométricas:
-
Componente x da velocidade após a colisão:
-
Componente y da velocidade após a colisão:
Portanto, a quantidade de movimento após a colisão nas direções x e y é:
-
Na direção x:
-
Na direção y:
Passo 5
Agora, aplicando a conservação da quantidade de movimento para cada direção:
-
Direção x:Podemos simplificar removendo
de ambos os lados: -
Direção y:Novamente, simplificando removendo
:
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
):
Podemos resolver uma das equações para
e substituir na outra. Vamos resolver a primeira equação para
:
Sabemos que
, então:
Agora, substituímos esse valor de
na segunda equação:
Sabemos que
, então:
Simplificando:
Agora, isolamos
:
Resposta
A velocidade do automóvel antes da colisão era: