Uma granada de massa M desliza sobre uma superficie sem atrito, quando explode em dois fragmentos de massas iguais. Um dos fragmentos se move para o norte com velocidade v e o outro se move em uma direção 30^circ ao norte do leste com velocidade 2 v. Qual era a velocidade escalar da granada antes da explosão?

Passo 1

Vamos resolver um problema de conservação de quantidade de movimento. Uma granada de massa desliza sobre uma superfície sem atrito e explode em dois fragmentos de massas iguais. Um fragmento vai para o norte com velocidade e o outro segue a ao norte do leste com velocidade . Precisamos encontrar a velocidade escalar da granada antes da explosão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, em uma explosão sem forças externas, a quantidade de movimento total antes da explosão é igual à quantidade de movimento total depois da explosão. Isso é conhecido como Lei da Conservação da Quantidade de Movimento.

Passo 3

A quantidade de movimento (ou momento linear) é dada pela fórmula:
p = m cdot v
onde é a massa e é a velocidade.

Passo 4

Antes da explosão, a granada tem massa pantes = M cdot V e velocidade (que queremos encontrar). Portanto, a quantidade de movimento total antes da explosão é:

Passo 5

Após a explosão, temos dois fragmentos de massa igual, ou seja, cada fragmento tem massa .

Passo 6

O primeiro fragmento se move para o norte com velocidade p1 = M2 cdot v cdot j , então sua quantidade de movimento é:
onde é o vetor unitário na direção norte.

Passo 7

O segundo fragmento se move a p2 = M2 cdot 2v cdot (cos 30^circ i + sin 30^circ j) = Mv (cos 30^circ i + sin 30^circ j) ao norte do leste com velocidade . Vamos decompor essa velocidade nas direções leste ( ) e norte ( ):

Passo 8

A quantidade de movimento total após a explosão é a soma das quantidades de movimento dos dois fragmentos:
pdepois = p1 + p2 = M2v j + Mv (cos 30^circ i + sin 30^circ j)

Passo 9

Igualando a quantidade de movimento antes e depois da explosão:
M cdot V = M2v j + Mv (cos 30^circ i + sin 30^circ j)

Passo 10

Dividimos ambos os lados por V = v2 j + v (cos 30^circ i + sin 30^circ j) para simplificar:

Passo 11

Agora, somamos as componentes:
V = v cos 30^circ i + ( v2 + v sin 30^circ ) j
Sabendo que V = v cdot raiz32 i + ( v2 + v2 ) j = raiz3v2 i + v j e :

Passo 12

A velocidade escalar V = raiz( raiz3v2 )^2 + v^2 = raiz 3v^24 + v^2 = raiz 7v^24 = raiz7v2 da granada é o módulo do vetor :

Resposta

A velocidade escalar da granada antes da explosão era .

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