Universidade Federal de Santa Catarina - Departamento de Física Professor: Paulo Juliano Liebgott - paulo.liebgott@ufsc.br Disciplina: Física II
Lista - Fluidos
Um recipiente cilíndrico possui, na lateral, junto à base, um furo de área
. Despeja-se água no recipiente a uma vazão
. Assumindo que o recipiente é grande o suficiente, de modo que a água não transborde, calcule a altura máxima do nível de água no recipiente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um recipiente cilíndrico com um furo na base por onde a água sai, e a gente está despejando água nesse recipiente com uma certa vazão
. A ideia é descobrir até que altura a água vai subir nesse recipiente antes que a água comece a sair do furo. Vamos usar conceitos de hidrostática e dinâmica dos fluidos, especialmente a Lei de Torricelli para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Temos uma vazão de entrada de água
, que é a quantidade de água que entra no recipiente por unidade de tempo. Por outro lado, a água está saindo pelo furo na base com uma certa vazão que depende da altura da água
no recipiente. No ponto em que a vazão de entrada iguala a de saída, a altura da água para de aumentar. Esse será o nosso
.
Passo 3
A vazão de saída da água pelo furo pode ser calculada usando a Lei de Torricelli, que diz que a velocidade
com que a água sai pelo furo é:
onde
é a aceleração da gravidade e
é a altura da coluna de água acima do furo.
Passo 4
Agora, a vazão de saída
é o produto da área do furo
pela velocidade
:
Passo 5
No ponto de equilíbrio, a vazão de entrada
é igual à vazão de saída
. Então temos:
Passo 6
Agora, vamos isolar
. Primeiro, dividimos ambos os lados por
:
Passo 7
Em seguida, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Passo 8
Finalmente, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A altura máxima do nível de água no recipiente é: