O caminho C é um segmento de reta de comprimento 10 com ponto inicial em (2,1). Para f(x, y)=3 x+4 y considere
integralC nabla f cdot d r
(a) Qual deve ser o ponto final do segmento C para que maximizar o valor da integral acima?
(b) Qual o valor máximo da integral?

Passo 1

Temos um segmento de reta C de comprimento 10 com ponto inicial (2,1) e a função f(x,y)=3x+4y. Queremos calcular integralC nabla f cdot dr e achar o ponto final de C que maximize esse integral, além de encontrar esse valor máximo. Vamos usar o Teorema Fundamental de Integrais de Linha para campos conservativos.

Passo 2

Observando que f é diferenciável e nabla f(x,y)=(3,4), pelo Teorema Fundamental de Cálculo para integrais de linha temos:
integralC nabla f cdot dr=f(Pfim)-f(Pinício) í

Passo 3

Calculamos f no ponto inicial Pinício=(2,1)í:
f(2,1)=3cdot2+4cdot1=6+4=10

Passo 4

Para maximizar f(Pfim) sob a condição de que a distância de Pfim a (2,1) seja 10, basta escolher Pfim na direção de nabla f=(3,4). A unidade nessa direção é (3/5,4/5), então o deslocamento ótimo é
10cdot(3/5,4/5)=(6,8)

Passo 5

Logo, o ponto final que maximiza a integral é
Pfim=(2,1)+(6,8)=(8,9)
O valor em Pfim é
f(8,9)=3cdot8+4cdot9=24+36=60,
e o valor máximo da integral é
60-10=50

Resposta

(a) (8,9)
(b) 50

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