O caminho é um segmento de reta de comprimento 10 com ponto inicial em . Para considere
(a) Qual deve ser o ponto final do segmento C para que maximizar o valor da integral acima?
(b) Qual o valor máximo da integral?
Passo 1
Temos um segmento de reta C de comprimento 10 com ponto inicial (2,1) e a função f(x,y)=3x+4y. Queremos calcular integralC nabla f cdot dr e achar o ponto final de C que maximize esse integral, além de encontrar esse valor máximo. Vamos usar o Teorema Fundamental de Integrais de Linha para campos conservativos.
Passo 2
Observando que f é diferenciável e nabla f(x,y)=(3,4), pelo Teorema Fundamental de Cálculo para integrais de linha temos:
integralC nabla f cdot dr=f(Pfim)-f(Pinício) í
Passo 3
Calculamos f no ponto inicial Pinício=(2,1)í:
f(2,1)=3cdot2+4cdot1=6+4=10
Passo 4
Para maximizar f(Pfim) sob a condição de que a distância de Pfim a (2,1) seja 10, basta escolher Pfim na direção de nabla f=(3,4). A unidade nessa direção é (3/5,4/5), então o deslocamento ótimo é