Determine os pólos de cada uma das funções e a respectiva ordem:
;
Passo 1
O enunciado pede pra achar os polos da função
e a respectiva ordem. O conteúdo principal é singularidades isoladas em funções de variável complexa, e vamos precisar usar a expansão em série de Taylor (ou Laurent) de
para ver de que ordem é o zero do numerador.
Passo 2
Apenas
pode ser singular, já que o numerador
é uma função inteira (não tem singulares) e o denominador anula em
. Logo precisamos examinar a expansão em série de Taylor em torno de
do numerador.
Passo 3
Escrevendo as séries até ordem
:
Passo 4
Subtraindo as séries:
Logo,
Passo 5
Dividindo por
para obter a série de Laurent de
:
A menor potência de
no denominador é
, indicando um polo de ordem 4 em $z=0.
Resposta
A única singularidade isolada é em z=0, e nela f tem um polo de ordem 4.