Determine os pólos de cada uma das funções e a respectiva ordem:
f(z)=cos (z)-cos (2 z)z^6;

Passo 1

O enunciado pede pra achar os polos da função f(z)=cos(z)-cos(2z)z^6 e a respectiva ordem. O conteúdo principal é singularidades isoladas em funções de variável complexa, e vamos precisar usar a expansão em série de Taylor (ou Laurent) de cos(z) para ver de que ordem é o zero do numerador.

Passo 2

Apenas z=0 pode ser singular, já que o numerador cos(z)-cos(2z) é uma função inteira (não tem singulares) e o denominador anula em z=0. Logo precisamos examinar a expansão em série de Taylor em torno de z=0 do numerador.

Passo 3

Escrevendo as séries até ordem z^6:
cos(z)=1-z^22!+z^44!-z^66!+cdots
cos(2z)=1-(2z)^22!+(2z)^44!-(2z)^66!+cdots=1-2z^2+23z^4-445z^6+cdots

Passo 4

Subtraindo as séries:
cos(z)-cos(2z)=l(1-tfracz^22+tfracz^424-tfracz^6720+cdotsr)-l(1-2z^2+tfrac23z^4-tfrac445z^6+cdotsr)
Logo,
cos(z)-cos(2z)=32z^2-58z^4+780z^6+cdots

Passo 5

Dividindo por z^6 para obter a série de Laurent de f(z):
cos(z)-cos(2z)z^6=32z^-4-58z^-2+780+O(z^2)
A menor potência de z no denominador é z^4, indicando um polo de ordem 4 em $z=0.

Resposta

A única singularidade isolada é em z=0, e nela f tem um polo de ordem 4.

Exercícios relacionados