Determine os pólos de cada uma das funções e a respectiva ordem:
f(z)=11+e^z;

Passo 1

Estamos com a função f(z)=11+e^z. O objetivo é achar as singularidades (polos) dessa função e determinar a ordem de cada um. Vamos precisar usar o fato de que polos ocorrem onde o denominador se anula e também examinar a multiplicidade desse zero.

Passo 2

Para encontrar onde o denominador se anula, resolvemos
1+e^z=0
que equivale a
e^z=-1

Passo 3

Como a exponencial complexa é 2πi-periódica, as soluções são
z=ipi+2pi i k,
com kinZ. Esses são exatamente os pontos em que 1+e^z=0, logo são as singularidades de f.

Passo 4

Para determinar a ordem de cada polo, considere a função g(z)=1+e^z. Se em z0=ipi+2pi i k tivéssemos um zero de ordem maior que 1, deveríamos ter g'(z0)=0. Calculando
g'(z)=e^z
e avaliando em z0
g'(z0)=e^ipi+2pi i k=-1neq0,
concluímos que cada zero de g é simples. Portanto, cada polo de f é de ordem 1.

Resposta

Os polos de f(z) são
zk=ipi+2pi i k, kinZ,
e todos são polos simples (ordem 1).

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