Seja
a função definida em
por
. Achar os extremos locais de
no conjunto
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos locais de f(x,y,z)=xyz+1/x+1/y+1/z no domínio C = {(x,y,z)∈ℝ^3: x>0,y>0,z>0}. O conteúdo é otimização de funções de várias variáveis e vamos usar gradiente para achar pontos críticos e Hessiana para classificar esses pontos.
Passo 2
Para achar os pontos críticos, calculamos o gradiente e igualamos a zero. Gradiente:
Igualando cada componente a zero, temos o sistema:
Multiplicando as três equações, obtemos (xyz)2=1/(x2y2z2), ou seja (xyz)^4=1. Como x,y,z>0, segue xyz=1. Substituindo de volta, cada equação vira 1/x=1/x^2, logo x=1; analogamente y=1 e z=1. Portanto o único ponto crítico em C é (1,1,1).
Passo 3
Para classificar (1,1,1), construímos a matriz Hessiana de f:
Em (1,1,1) isso fica
onde J_3 é a matriz de todos uns. Seus autovalores são 4 (multiplicidade 1) e 1 (multiplicidade 2), todos positivos. Logo Hf(1,1,1) é definida positiva, o que caracteriza um mínimo local.
Passo 4
Concluindo, a função f tem um único extremo local em C, que é um mínimo em (1,1,1) com valor f(1,1,1)=1·1·1+1+1+1=4.
Resposta
O único extremo local em C é um mínimo em (1,1,1), com valor f(1,1,1)=4.