Seja f a função definida em R^3 por f(x, y, z)=x y z+1x+1y+1z. Achar os extremos locais de f no conjunto .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos locais de f(x,y,z)=xyz+1/x+1/y+1/z no domínio C = {(x,y,z)∈ℝ^3: x>0,y>0,z>0}. O conteúdo é otimização de funções de várias variáveis e vamos usar gradiente para achar pontos críticos e Hessiana para classificar esses pontos.

Passo 2

Para achar os pontos críticos, calculamos o gradiente e igualamos a zero. Gradiente:
nabla f(x,y,z)=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)=(yz-1x^2,;xz-1y^2,;xy-1z^2)
Igualando cada componente a zero, temos o sistema:
yz=1x^2, xz=1y^2, xy=1z^2
Multiplicando as três equações, obtemos (xyz)2=1/(x2y2z2), ou seja (xyz)^4=1. Como x,y,z>0, segue xyz=1. Substituindo de volta, cada equação vira 1/x=1/x^2, logo x=1; analogamente y=1 e z=1. Portanto o único ponto crítico em C é (1,1,1).

Passo 3

Para classificar (1,1,1), construímos a matriz Hessiana de f:
Hf= 2x^3 & z & y z & 2y^3 & x y & x & 2z^3
Em (1,1,1) isso fica
Hf(1,1,1)=2&1&11&2&11&1&2=I3+J3,
onde J_3 é a matriz de todos uns. Seus autovalores são 4 (multiplicidade 1) e 1 (multiplicidade 2), todos positivos. Logo Hf(1,1,1) é definida positiva, o que caracteriza um mínimo local.

Passo 4

Concluindo, a função f tem um único extremo local em C, que é um mínimo em (1,1,1) com valor f(1,1,1)=1·1·1+1+1+1=4.

Resposta

O único extremo local em C é um mínimo em (1,1,1), com valor f(1,1,1)=4.

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