O caminho livre médio ( \lambda ) de uma molécula em um gás é inversamente proporcional a:
◯ a) A temperatura absoluta.
◯ b) A pressão do gás.
◯ c) O volume do recipiente.
◯ d) A massa molecular das moléculas.
◯ e) A velocidade quadrática média.

Passo 1

O enunciado pergunta: “O caminho livre médio ( \lambda) de uma molécula em um gás é inversamente proporcional a qual das alternativas?” As alternativas são:
  • a) A temperatura absoluta.
  • b) A pressão do gás.
  • c) O volume do recipiente.
  • d) A massa molecular das moléculas.
  • e) A velocidade quadrática média.
Informações relevantes dadas implicitamente pelo enunciado:
  • Queremos a dependência funcional de \lambda em relação a grandezas macroscópicas do gás (pressão, temperatura, volume, massa, velocidade).
  • Não há números nem condições extras, então a resposta deve ser baseada na fórmula teórica do caminho livre médio.

Passo 2

Vamos lembrar a definição física do caminho livre médio: é a distância média que uma molécula percorre entre duas colisões sucessivas. Na teoria cinética dos gases, uma forma padrão da expressão para \lambda (assumindo esferas rígidas para as moléculas e gás diluído) é
\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}\, n \sigma},
onde:
  • n é a densidade númerica de partículas (número de moléculas por unidade de volume), ou seja, n=\dfrac{N}{V};
  • \sigma é a seção de choque efetiva para colisões entre duas moléculas; para esferas de diâmetro d tem-se \sigma=\pi d^{2};
  • o fator \sqrt{2} aparece por conta da geometria relativa e da contagem de pares de colisão.
Explicando com calma: essa fórmula diz que quanto maior for a densidade de moléculas (mais moléculas por volume), menor será a distância média entre colisões — faz sentido físico.

Passo 3

Agora relacionamos n com grandezas macroscópicas medíveis. Pela equação dos gases ideais:
p = n k T,
onde:
  • p é a pressão do gás,
  • k é a constante de Boltzmann,
  • T é a temperatura absoluta (em Kelvin),
  • n é a densidade númerica já citada.
Dessa relação isolamos n:
n=\frac{p}{kT}.

Passo 4

Substituímos n na fórmula de \lambda. Usando \sigma=\pi d^{2} e n=\dfrac{p}{kT} obtemos
\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}\, n \sigma} = \frac{1}{\sqrt{2}\,\dfrac{p}{kT}\,\pi d^{2}} = \frac{kT}{\sqrt{2}\,\pi d^{2}\,p}.
Essa expressão é muito importante: ela mostra explicitamente como \lambda depende de T, p e do diâmetro molecular d.

Passo 5

Interpretação das dependências e comparação com as alternativas:
  • Da expressão \lambda = \dfrac{kT}{\sqrt{2}\,\pi d^{2}\,p} vemos que \lambda é diretamente proporcional a T (aumenta quando a temperatura aumenta) e inversamente proporcional a p (diminui quando a pressão aumenta).
  • Alternativa (a): “A temperatura absoluta.” — está errada, porque \lambda não é inversamente proporcional a T; pelo contrário, \lambda \propto T.
  • Alternativa (b): “A pressão do gás.” — correta, pois \lambda \propto \dfrac{1}{p}.
  • Alternativa (c): “O volume do recipiente.” — cuidado: para um número fixo de moléculas N, n=N/V então \lambda \propto V (diretamente proporcional ao volume, não inversamente). Assim (c) está incorreta se interpretada como “inversamente proporcional”.
  • Alternativa (d): “A massa molecular das moléculas.” — a massa molecular não aparece explicitamente em \lambda nessa expressão (aparece na velocidade típica, mas não no comprimento livre médio dado por 1/(n\sigma)), então não é inversamente proporcional à massa molecular.
  • Alternativa (e): “A velocidade quadrática média.” — a velocidade afeta a frequência de colisões no sentido de tempo entre colisões, mas o comprimento médio entre colisões \lambda dado por 1/(\sqrt{2} n \sigma) não depende da velocidade quadrática média; logo (e) está incorreta para “inversamente proporcional”.

Passo 6

Resumo físico e incentivo: portanto, usando a fórmula fundamentada da teoria cinética e a lei dos gases ideais, concluímos que o caminho livre médio \lambda é inversamente proporcional à pressão p. Ótimo trabalho até aqui — essa é uma consequência física intuitiva: mais pressão → mais moléculas por volume → menos espaço entre colisões → menor \lambda.

Resposta

b)

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