O caminho livre médio (
) de uma molécula em um gás é inversamente proporcional a:
◯ a) A temperatura absoluta.
◯ b) A pressão do gás.
◯ c) O volume do recipiente.
◯ d) A massa molecular das moléculas.
◯ e) A velocidade quadrática média.
◯ a) A temperatura absoluta.
◯ b) A pressão do gás.
◯ c) O volume do recipiente.
◯ d) A massa molecular das moléculas.
◯ e) A velocidade quadrática média.
Passo 1
O enunciado pergunta: “O caminho livre médio (
) de uma molécula em um gás é inversamente proporcional a qual das alternativas?” As alternativas são:
- a) A temperatura absoluta.
- b) A pressão do gás.
- c) O volume do recipiente.
- d) A massa molecular das moléculas.
- e) A velocidade quadrática média.
Informações relevantes dadas implicitamente pelo enunciado:
- Queremos a dependência funcional de
em relação a grandezas macroscópicas do gás (pressão, temperatura, volume, massa, velocidade). - Não há números nem condições extras, então a resposta deve ser baseada na fórmula teórica do caminho livre médio.
Passo 2
Vamos lembrar a definição física do caminho livre médio: é a distância média que uma molécula percorre entre duas colisões sucessivas. Na teoria cinética dos gases, uma forma padrão da expressão para
(assumindo esferas rígidas para as moléculas e gás diluído) é
onde:
-
é a densidade númerica de partículas (número de moléculas por unidade de volume), ou seja, ; -
é a seção de choque efetiva para colisões entre duas moléculas; para esferas de diâmetro tem-se ; - o fator
aparece por conta da geometria relativa e da contagem de pares de colisão.
Explicando com calma: essa fórmula diz que quanto maior for a densidade de moléculas (mais moléculas por volume), menor será a distância média entre colisões — faz sentido físico.
Passo 3
Agora relacionamos
com grandezas macroscópicas medíveis. Pela equação dos gases ideais:
onde:
-
é a pressão do gás, -
é a constante de Boltzmann, -
é a temperatura absoluta (em Kelvin), -
é a densidade númerica já citada.
Dessa relação isolamos
:
Passo 4
Substituímos
na fórmula de
. Usando
e
obtemos
Essa expressão é muito importante: ela mostra explicitamente como
depende de
,
e do diâmetro molecular
.
Passo 5
Interpretação das dependências e comparação com as alternativas:
- Da expressão
vemos que é diretamente proporcional a (aumenta quando a temperatura aumenta) e inversamente proporcional a (diminui quando a pressão aumenta). - Alternativa (a): “A temperatura absoluta.” — está errada, porque
não é inversamente proporcional a ; pelo contrário, . - Alternativa (b): “A pressão do gás.” — correta, pois
. - Alternativa (c): “O volume do recipiente.” — cuidado: para um número fixo de moléculas
, então (diretamente proporcional ao volume, não inversamente). Assim (c) está incorreta se interpretada como “inversamente proporcional”. - Alternativa (d): “A massa molecular das moléculas.” — a massa molecular não aparece explicitamente em
nessa expressão (aparece na velocidade típica, mas não no comprimento livre médio dado por ), então não é inversamente proporcional à massa molecular. - Alternativa (e): “A velocidade quadrática média.” — a velocidade afeta a frequência de colisões no sentido de tempo entre colisões, mas o comprimento médio entre colisões
dado por não depende da velocidade quadrática média; logo (e) está incorreta para “inversamente proporcional”.
Passo 6
Resumo físico e incentivo: portanto, usando a fórmula fundamentada da teoria cinética e a lei dos gases ideais, concluímos que o caminho livre médio
é inversamente proporcional à pressão
. Ótimo trabalho até aqui — essa é uma consequência física intuitiva: mais pressão → mais moléculas por volume → menos espaço entre colisões → menor
.
Resposta
b)