A velocidade quadrática média (v_rms) das moléculas de um gás ideal pode ser calculada por v_rms =\sqrt{ }(3 R T / M). Se a temperatura absoluta for reduzida a um quarto de seu valor inicial e a massa molar for dobrada, a nova velocidade quadrática média será:
◯ a) Metade da velocidade inicial.
◯ b) Um quarto da velocidade inicial.
◯ c) O dobro da velocidade inicial.
◯ d) Quatro vezes maior que a velocidade inicial.
◯ e) Um oitavo da velocidade inicial.

Passo 1

O enunciado dá a fórmula da velocidade quadrática média:
v_{\text{rms}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}}.
Informações fornecidas:
  • A temperatura absoluta é reduzida a um quarto do valor inicial, isto é \,T'=\dfrac{T}{4}.
  • A massa molar é dobrada, isto é \,M'=2M.
    O que é pedido: determinar a nova velocidade quadrática média em relação à velocidade inicial e escolher a alternativa correta entre as opções dadas.

Passo 2

Vamos entender de onde vem a fórmula e o que cada símbolo significa (aula rápida e tranquila):
  • \,v_{\text{rms}} é a velocidade quadrática média, isto é \sqrt{\langle v^2\rangle}.
  • \,T é a temperatura absoluta (em kelvin).
  • \,M é a massa molar do gás (em kg·mol^{-1}; atenção às unidades).
  • \,R é a constante universal dos gases perfeitos ( R\approx 8,314\\ \text{J·mol}^{-1}\text{·K}^{-1}).
Derivação curta (não precisa decorar sem entender): pela teoria cinética, a energia cinética média por molécula satisfaz
\frac{1}{2} m \langle v^2\rangle = \frac{3}{2} k T,
onde \,m é a massa de uma molécula e \,k é a constante de Boltzmann. Então
v_{\text{rms}}=\sqrt{\langle v^2\rangle}=\sqrt{\dfrac{3kT}{m}}.
Convertendo para grandezas molares: m=\dfrac{M}{N_A} e R=N_A k, substitui-se e obtém-se
v_{\text{rms}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}},
que é a fórmula dada. Importante: M deve estar em unidade compatível (kg·mol^{-1}) para que as unidades dentro da raiz sejam de \text{m}^2\text{s}^{-2}.

Passo 3

Agora aplicamos a mudança de condições. A velocidade inicial é
v_{\text{rms,0}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}}.
A nova velocidade, com T'=\dfrac{T}{4} e M'=2M, é
v_{\text{rms,new}}=\sqrt{\dfrac{3R T'}{M'}}=\sqrt{\dfrac{3R\left(\dfrac{T}{4}\right)}{2M}}.

Passo 4

Simplificando a expressão:
v_{\text{rms,new}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{4\cdot 2M}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{8M}}.
Agora compare com a velocidade inicial \,v_{\text{rms,0}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}}. Factorizando:
v_{\text{rms,new}}=\sqrt{\dfrac{1}{8}}\;v_{\text{rms,0}}=\dfrac{1}{\sqrt{8}}\;v_{\text{rms,0}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\;v_{\text{rms,0}}.
Valor numérico aproximado:
\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\approx 0,3536\\ (\text{ou }35{,}36\%\text{ da velocidade inicial}).

Passo 5

Vamos comparar com as alternativas dadas (transformando cada uma em fração decimal):
  • (a) Metade =\dfrac{1}{2}=0,5.
  • (b) Um quarto =\dfrac{1}{4}=0,25.
  • (c) O dobro =2.
  • (d) Quatro vezes =4.
  • (e) Um oitavo =\dfrac{1}{8}=0,125.
A razão correta que encontramos é \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\approx 0,3536, que não coincide com nenhuma das alternativas acima. Portanto nenhuma das alternativas apresentadas está correta; a resposta correta em forma de fator é
v_{\text{rms,new}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\,v_{\text{rms,0}}.

Resposta

Nenhuma das alternativas; \;v_{\text{rms,new}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\,v_{\text{rms,0}}

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