A velocidade quadrática média (v_rms) das moléculas de um gás ideal pode ser calculada por v_rms =\sqrt{ }(3 R T / M). Se a temperatura absoluta for reduzida a um quarto de seu valor inicial e a massa molar for dobrada, a nova velocidade quadrática média será:
◯ a) Metade da velocidade inicial.
◯ b) Um quarto da velocidade inicial.
◯ c) O dobro da velocidade inicial.
◯ d) Quatro vezes maior que a velocidade inicial.
◯ e) Um oitavo da velocidade inicial.
Passo 1
O enunciado dá a fórmula da velocidade quadrática média:
v_{\text{rms}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}}.
Informações fornecidas:
A temperatura absoluta é reduzida a um quarto do valor inicial, isto é \,T'=\dfrac{T}{4}.
A massa molar é dobrada, isto é \,M'=2M.
O que é pedido: determinar a nova velocidade quadrática média em relação à velocidade inicial e escolher a alternativa correta entre as opções dadas.
Passo 2
Vamos entender de onde vem a fórmula e o que cada símbolo significa (aula rápida e tranquila):
\,v_{\text{rms}} é a velocidade quadrática média, isto é \sqrt{\langle v^2\rangle}.
\,T é a temperatura absoluta (em kelvin).
\,M é a massa molar do gás (em kg·mol^{-1}; atenção às unidades).
\,R é a constante universal dos gases perfeitos (R\approx 8,314\\ \text{J·mol}^{-1}\text{·K}^{-1}).
Derivação curta (não precisa decorar sem entender): pela teoria cinética, a energia cinética média por molécula satisfaz
\frac{1}{2} m \langle v^2\rangle = \frac{3}{2} k T,
onde \,m é a massa de uma molécula e \,k é a constante de Boltzmann. Então
Convertendo para grandezas molares: m=\dfrac{M}{N_A} e R=N_A k, substitui-se e obtém-se
v_{\text{rms}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}},
que é a fórmula dada. Importante: M deve estar em unidade compatível (kg·mol^{-1}) para que as unidades dentro da raiz sejam de \text{m}^2\text{s}^{-2}.
Passo 3
Agora aplicamos a mudança de condições. A velocidade inicial é
\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\approx 0,3536\\ (\text{ou }35{,}36\%\text{ da velocidade inicial}).
Passo 5
Vamos comparar com as alternativas dadas (transformando cada uma em fração decimal):
(a) Metade =\dfrac{1}{2}=0,5.
(b) Um quarto =\dfrac{1}{4}=0,25.
(c) O dobro =2.
(d) Quatro vezes =4.
(e) Um oitavo =\dfrac{1}{8}=0,125.
A razão correta que encontramos é \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\approx 0,3536, que não coincide com nenhuma das alternativas acima. Portanto nenhuma das alternativas apresentadas está correta; a resposta correta em forma de fator é