Um caminhoneiro descarrega uma caixa de 32 kg sobre uma rampa metálica que faz 28^{\circ} com a horizontal. A superfície tem atrito com coeficiente \mu=0,22. Determine Px e aceleração da caixa sem atrito.

Passo 1

O enunciado dá: a caixa tem massa 32\\ \mathrm{kg}; a rampa forma \(28^\circ) com a horizontal; o coeficiente de atrito é \(\mu=0,22). Pede-se: determinar P_x (a componente do peso paralela à rampa) e determinar a aceleração da caixa no caso sem atrito.

Passo 2

Vamos listar as forças que atuam na caixa e escolher um sistema de eixos conveniente. As forças são:
  • o peso, que chamamos de \vec{P}, com módulo \;P=mg\; dirigido para baixo (vertical);
  • a força normal \vec{N}, perpendicular à superfície da rampa;
  • a força de atrito (existente, mas ignorada na parte da aceleração sem atrito).
    Escolho eixos com x paralelo à rampa apontando para baixo ao longo da rampa, e y perpendicular à rampa apontando para fora da superfície. Essa escolha simplifica as equações porque o movimento esperado é ao longo da rampa.

Passo 3

Agora decompondo o peso em componentes ao longo desses eixos: desenhe mentalmente o triângulo formado por \vec{P} e suas componentes. A componente paralela à rampa é dada por
P_x = P\sin\theta
e a componente perpendicular à rampa é
P_y = P\cos\theta.
Por que seno para P_x? Porque o ângulo entre a vertical e a componente perpendicular é \theta, e o cateto oposto ao ângulo \theta no triângulo formado é a componente paralela — por isso usamos \sin. (Se isso parecer confuso, pense: quando \theta aumenta, a tendência a deslizar aumenta; \sin\theta cresce com \theta, então faz sentido que a componente paralela envolva seno.)

Passo 4

Calculemos o peso P. Usamos a aceleração da gravidade \;g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}\;. Então
P = mg = 32\cdot 9,8 = 313,6\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Agora compute P_x. Usaremos \sin 28^\circ. Um valor aproximado é \sin 28^\circ\approx 0,4695. Assim
P_x = P\sin 28^\circ = 313,6\cdot 0,4695 \approx 147,2\\ \mathrm{N}.
Expliquei os passos para você poder refazer: primeiro calcule P=mg, depois multiplique por \sin\theta.

Passo 6

Para achar a aceleração sem atrito, escrevemos a segunda lei de Newton ao longo do eixo x. Sem atrito, a única força resultante ao longo do plano é P_x. Logo
\sum F_x = m a \quad\Rightarrow\quad P_x = m a.
Substituindo P_x = mg\sin\theta obtemos
m a = m g \sin\theta \quad\Rightarrow\quad a = g\sin\theta.
Note como o m cancela: a aceleração ao descer sem atrito depende apenas de g e do ângulo \theta, não da massa.

Passo 7

Agora o valor numérico da aceleração sem atrito:
a = g\sin 28^\circ = 9,8\cdot 0,4695 \approx 4,60\\ \mathrm{m/s^2}.
Você pode arredondar conforme a necessidade da prova, mas 4,60\\ \mathrm{m/s^2} é uma boa precisão.

Resposta

P_x = 147,2\\ \mathrm{N}
a = 4,60\\ \mathrm{m/s^2}

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