Numa manhã de feira, um ciclista estaciona a bicicleta (ciclista + bicicleta =80 \mathrm{~kg} ) no topo de uma ladeira de concreto com ângulo 20^{\circ}. Ao soltar, a bicicleta começa a descer. O atrito entre os pneus e o concreto é \mu=0,06. Determine:
a) Px e Py do conjunto
b) Fat
c) Aceleração do movimento.

Passo 1

O enunciado dá um conjunto (ciclista + bicicleta) com massa \;m=80\\ \mathrm{kg}\; estacionado no topo de uma ladeira de concreto que forma um ângulo de \;20^\circ\; com a horizontal. O coeficiente de atrito entre pneus e concreto é \;\mu=0,06\;. Precisamos determinar:
a) as componentes do peso P ao longo dos eixos paralelo e perpendicular à ladeira, ou seja \;P_x\; e \;P_y;\n
b) a força de atrito \;F_{at}\;;\n
c) a aceleração do conjunto ao descer a ladeira.\n
Vamos assumir a aceleração da gravidade \;g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}\; (valor padrão). Não há outras forças externas além do peso, normal e atrito, e o movimento é ao longo da rampa.

Passo 2

Primeiro calculamos a força peso (módulo), que é a força gravitacional sobre o conjunto. A fórmula é:
P = m g
onde \;m\; é a massa e \;g\; é a aceleração da gravidade. Aqui:
P = 80 \cdot 9,8 = 784\\ \mathrm{N}.
Explicação: o peso é a força que a Terra exerce sobre a massa; sua unidade é newton (N). Esse 784\\ \mathrm{N} é a força resultante dirigida verticalmente para baixo.

Passo 3

Escolhemos um sistema de eixos conveniente:
  • eixo x: ao longo da rampa, positivo para baixo (direção do movimento);
  • eixo y: perpendicular à rampa, positivo para fora da superfície.
Para decompor o peso em P_x e P_y usamos trigonometria no triângulo formado pelo vetor peso e suas componentes. As fórmulas são:
P_x = P \sin\theta, \qquad P_y = P \cos\theta,
onde \theta é o ângulo da rampa ( \;20^\circ\;). Justificativa: o componente paralelo é o cateto oposto ao ângulo entre a vertical e o eixo perpendicular; no arranjo padrão com eixo paralelo, isso resulta em seno para a componente paralela e cosseno para a perpendicular.

Passo 4

Agora calculamos numericamente usando valores de seno e cosseno de \;20^\circ\;:
\sin 20^\circ \approx 0,3420,\qquad \cos 20^\circ \approx 0,9397.
Logo:
P_x = 784 \cdot 0,3420 \approx 268,3\\ \mathrm{N},
P_y = 784 \cdot 0,9397 \approx 736,3\\ \mathrm{N}.
Explicação passo a passo: multiplicamos o módulo do peso pelo seno (para a componente paralela) e pelo cosseno (para a perpendicular). Essas são as forças que “puxam” o ciclista ao longo da rampa e que pressionam a superfície, respectivamente.

Passo 5

A força normal \;N\; é a reação da superfície perpendicular à rampa. Como não há aceleração na direção perpendicular (o objeto não penetra a rampa nem salta), temos equilíbrio nessa direção, portanto:
N = P_y \approx 736,3\\ \mathrm{N}.
Explicação: a soma das forças perpendiculares é zero, então a normal compensa exatamente o componente perpendicular do peso.

Passo 6

A força de atrito cinético (assumimos que ao soltar a bicicleta ela já começa a deslizar; se fosse estático, poderíamos comparar limites) é dada pela lei empírica:
F_{at} = \mu N,
onde \;\mu\; é o coeficiente de atrito e \;N\; é a normal. Substituindo:
F_{at} = 0,06 \cdot 736,3 \approx 44,2\\ \mathrm{N}.
Explicação: o atrito limita o movimento, sempre atua no sentido oposto ao deslocamento relativo entre superfícies. Aqui ele aponta para cima da rampa, reduzindo a força que puxa para baixo.

Passo 7

Agora calculamos a força resultante ao longo da rampa ( x-direção). As forças ao longo do eixo x são P_x para baixo e F_{at} para cima, então:
F_{res} = P_x - F_{at} \approx 268,3 - 44,2 = 224,1\\ \mathrm{N}.
Explicação: subtraímos porque o atrito se opõe ao sentido do movimento. O resultado é a força líquida que produz a aceleração do conjunto.

Passo 8

Finalmente, aplicamos a segunda lei de Newton para obter a aceleração:
a = \frac{F_{res}}{m} = \frac{224,1}{80} \approx 2,80\\ \mathrm{m/s^2}.
Explicação: \;a\; é a razão entre a força líquida e a massa. O sinal positivo indica aceleração para baixo da rampa (mesmo sentido de P_x). Unidade: \mathrm{m/s^2}.

Resposta

P_x = 268,3\\ \mathrm{N} \;\; P_y = 736,3\\ \mathrm{N}\n
F_{at} = 44,2\\ \mathrm{N}\n
a = 2,80\\ \mathrm{m/s^2}

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