Um caminhoneiro estava em uma estrada cujo limite de velocidade era de 100 km / h. Ao passar no segundo pedágio, distante 120 km do primeiro, o caminhoneiro recebeu uma multa, pois levou 30 minutos para ir do primeiro ao segundo pedágio. Ele tentou contestar a multa, mas não obteve sucesso. Por que a multa foi justa?

Passo 1

O enunciado informa que o limite de velocidade na estrada é de 100,km/h e que a distância entre o primeiro e o segundo pedágio é de 120,km. Ele levou 30 minutos para percorrer esse trecho. Para analisar a infração, usaremos o conceito de velocidade média e o Teorema do Valor Médio, que garante que em algum instante a velocidade instantânea é igual à velocidade média.

Passo 2

Convertemos o tempo de 30 minutos em horas:
30 min = 0,5 h
Em seguida, calculamos a velocidade média vm no trecho:
vm = distânciatempo = 120 km0,5 h = 240 km/h â

Passo 3

Comparando com o limite, vemos que
vm = 240 km/h > 100 km/h
Isso significa que, mesmo que ele tenha variado a velocidade, a média ultrapassou em muito o permitido.

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Médio, se a função posição em função do tempo é contínua e derivável, existe pelo menos um instante em que a velocidade instantânea v(t) coincide com a velocidade média vm. Logo, houve um momento em que
v(t) = vm = 240 km/h > 100 km/h,
ou seja, o caminhoneiro ultrapassou o limite de velocidade.

Resposta

A multa foi justa porque a velocidade média de 240,km/h no trecho indica necessariamente que em algum instante sua velocidade instantânea também excedeu os 100,km/h permitidos.

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