Nas seguintes funções, encontre os intervalos onde a função é crescente e decrescente; em seguida, identifique os valores extremos locais da função, se houver, informando onde ela os assume.
f(t)=32 t^4-t^6

Passo 1

O enunciado pede para achar os intervalos de crescimento e decrescimento de
f(t)=32t^4-t^6
e em seguida identificar os extremos locais (máximos e mínimos), ou seja, onde a derivada zera e muda de sinal.

Passo 2

Vamos calcular a derivada usando a regra do poder (power rule). Derivando termo a termo:
  • de tfrac32t^4 vem tfrac32cdot4,t^3=6t^3
  • de -t^6 vem -6t^5
    Portanto,
f'(t)=6t^3-6t^5=6t^3l(1-t^2r)

Passo 3

Encontramos os pontos críticos resolvendo f'(t)=0:
6t^3(1-t^2)=0 Longrightarrow t^3=0 ou 1-t^2=0
isto é,
t=0, t=pm1

Passo 4

Analisamos o sinal de f'(t)=6t^3(1-t^2) em cada intervalo determinado pelos pontos críticos:
  • Para t<-1: t^3<0 e (1-t^2)<0 Rightarrow f'(t)>0 (crescente).
  • Para -1<t<0: t^3<0 e (1-t^2)>0 Rightarrow f'(t)<0 (decrescente).
  • Para 0<t<1: t^3>0 e (1-t^2)>0 Rightarrow f'(t)>0 (crescente).
  • Para t>1: t^3>0 e (1-t^2)<0 Rightarrow f'(t)<0 (decrescente).

Passo 5

Como a derivada muda de sinal em cada ponto crítico, temos extremos locais:
  • Em t=-1: f' vai de positivo para negativo Rightarrow máximo local. f(-1)=32cdot(-1)^4-(-1)^6=32-1=12
  • Em t=0: f' vai de negativo para positivo Rightarrow mínimo local. f(0)=0
  • Em t=1: f' vai de positivo para negativo Rightarrow máximo local. f(1)=32cdot1-1=12

Resposta

A função é crescente em (-infty,-1) e em (0,1); decrescente em (-1,0) e em (1,infty).
Os extremos locais são:
– máximo local em t=-1 e em t=1 com valor f=tfrac12;
– mínimo local em t=0 com valor f=0.

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