Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x , pela região delimitada pelos gráficos de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede o volume de um sólido de revolução. A gente vai girar a área delimitada pelas curvas
,
,
e
em torno do eixo dos
. Para isso, vamos usar a técnica dos discos, que envolve integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os limites de integração. As curvas são definidas entre
e
. Então, nosso intervalo de integração será de 1 a 3.
Passo 3
A fórmula para o volume usando a técnica dos discos é:
Aqui,
é a função que define a borda superior da região que estamos girando. No nosso caso,
.
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
Agora, precisamos expandir o quadrado para facilitar a integração.
Passo 5
Expande-se
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos cada termo separadamente:
Passo 7
Aplicando os limites de 1 a 3:
Passo 8
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Passo 9
Subtraindo os valores:
Resposta
O volume do sólido de revolução é: