Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x , pela região delimitada pelos gráficos de y=-x^2+2 x+ 3, x=1, x=3 e y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede o volume de um sólido de revolução. A gente vai girar a área delimitada pelas curvas y = -x^2 + 2x + 3 , x = 1 , x = 3 e y = 0 em torno do eixo dos x . Para isso, vamos usar a técnica dos discos, que envolve integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os limites de integração. As curvas são definidas entre x = 1 e x = 3 . Então, nosso intervalo de integração será de 1 a 3.

Passo 3

A fórmula para o volume usando a técnica dos discos é:
V = pi integrala^b [f(x)]^2 , dx
Aqui, f(x) é a função que define a borda superior da região que estamos girando. No nosso caso, f(x) = -x^2 + 2x + 3 .

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
V = pi integral1^3 (-x^2 + 2x + 3)^2 , dx
Agora, precisamos expandir o quadrado para facilitar a integração.

Passo 5

Expande-se (-x^2 + 2x + 3)^2 :
(-x^2 + 2x + 3)^2 = x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 12x + 9
Então, a integral fica:
V = pi integral1^3 (x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 12x + 9) , dx

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral x^4 , dx = x^55
integral -4x^3 , dx = -x^4
integral -2x^2 , dx = -2x^33
integral 12x , dx = 6x^2
integral 9 , dx = 9x

Passo 7

Aplicando os limites de 1 a 3:
V = pi [ ( 3^55 - 3^4 - 2 cdot 3^33 + 6 cdot 3^2 + 9 cdot 3 ) - ( 1^55 - 1^4 - 2 cdot 1^33 + 6 cdot 1^2 + 9 cdot 1 ) ]

Passo 8

Calculando cada parte:
Para x = 3 :
2435 - 81 - 18 + 54 + 27 = 2435 - 81 - 18 + 54 + 27 = 2435 - 18
2435 - 18 = 243 - 905 = 1535
Para x = 1 :
15 - 1 - 23 + 6 + 9 = 15 - 1 - 23 + 15 = 15 - 23 + 14
15 - 23 = 3 - 1015 = -715
-715 + 14 = -7 + 21015 = 20315

Passo 9

Subtraindo os valores:
1535 - 20315 = 459 - 20315 = 25615

Resposta

O volume do sólido de revolução é:
V = pi cdot 25615 = 256pi15 , unidades cúbicas ú

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