Verifique que a função satisfaça as hipóteses do Teorema do Valor Médio sobre o intervalo dado. Então encontre todos os números c que satisfazem a conclusão do Teorema do Valor Médio.
f(x)=sen 2 pi x, [-1,1]

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função f(x) = sin(2pi x) definida no intervalo [-1, 1]. Precisamos verificar se essa função satisfaz as condições do Teorema do Valor Médio e, se sim, encontrar todos os números c que fazem parte da conclusão desse teorema.
O Teorema do Valor Médio (TVM) diz que se uma função é contínua em um intervalo fechado [a, b] e diferenciável no intervalo aberto (a, b), então existe pelo menos um ponto c em (a, b) tal que:
f'(c) = f(b) - f(a)b - a
Vamos verificar se nossa função atende a essas condições e encontrar os valores de c .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se f(x) = sin(2pi x) é contínua no intervalo [-1, 1] e diferenciável no intervalo (-1, 1).
A função seno é contínua e diferenciável em todo o seu domínio, que são todos os números reais. Como multiplicamos o argumento por 2pi, isso não afeta a continuidade ou diferenciabilidade. Portanto, f(x) é contínua em [-1, 1] e diferenciável em (-1, 1).

Passo 3

Como a função satisfaz as hipóteses do TVM, podemos aplicar o teorema. Vamos calcular a média das variações da função no intervalo:
f(1) - f(-1)1 - (-1) = sin(2pi cdot 1) - sin(2pi cdot (-1))2
Sabemos que sin(2pi) = 0 e sin(-2pi) = 0, então:
0 - 02 = 0
Portanto, precisamos encontrar todos os pontos c em (-1, 1) onde a derivada de f é igual a zero.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de f(x) = sin(2pi x) :
f'(x) = 2pi cos(2pi x)
Queremos encontrar c tal que f'(c) = 0 :
2pi cos(2pi c) = 0 Rightarrow cos(2pi c) = 0
Sabemos que cos(theta) = 0 quando theta = pi2 + kpi, onde k é um inteiro. Então:
2pi c = pi2 + kpi Rightarrow c = 14 + k2
Agora, precisamos encontrar os valores de c dentro do intervalo (-1, 1).

Passo 5

Vamos testar valores de k que satisfaçam c in (-1, 1) :
Para k = -2 :
c = 14 + -22 = 14 - 1 = -34
Está no intervalo.
Para k = -1 :
c = 14 + -12 = 14 - 12 = -14
Também está no intervalo.
Para k = 0 :
c = 14 + 0 = 14
Também está no intervalo.
Para k = 1 :
c = 14 + 12 = 34
Também está no intervalo.
Para k = 2 :
c = 14 + 1 = 54
Fora do intervalo.
Portanto, os valores de c que satisfazem a conclusão do TVM são -34 , -14 , 14 e 34 .

Resposta

Os números c que satisfazem a conclusão do Teorema do Valor Médio no intervalo [-1, 1] são:
c = -34, -14, 14, 34

Exercícios relacionados