Verifique que a função satisfaça as hipóteses do Teorema do Valor Médio sobre o intervalo dado. Então encontre todos os números
que satisfazem a conclusão do Teorema do Valor Médio.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
definida no intervalo
. Precisamos verificar se essa função satisfaz as condições do Teorema do Valor Médio e, se sim, encontrar todos os números
que fazem parte da conclusão desse teorema.
O Teorema do Valor Médio (TVM) diz que se uma função é contínua em um intervalo fechado
e diferenciável no intervalo aberto
, então existe pelo menos um ponto
em
tal que:
Vamos verificar se nossa função atende a essas condições e encontrar os valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é contínua no intervalo
e diferenciável no intervalo
.
A função seno é contínua e diferenciável em todo o seu domínio, que são todos os números reais. Como multiplicamos o argumento por
, isso não afeta a continuidade ou diferenciabilidade. Portanto,
é contínua em
e diferenciável em
.
Passo 3
Como a função satisfaz as hipóteses do TVM, podemos aplicar o teorema. Vamos calcular a média das variações da função no intervalo:
Sabemos que
e
, então:
Portanto, precisamos encontrar todos os pontos
em
onde a derivada de
é igual a zero.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
:
Queremos encontrar
tal que
:
Sabemos que
quando
, onde
é um inteiro. Então:
Agora, precisamos encontrar os valores de
dentro do intervalo
.
Passo 5
Vamos testar valores de
que satisfaçam
:
Para
:
Está no intervalo.
Para
:
Também está no intervalo.
Para
:
Também está no intervalo.
Para
:
Também está no intervalo.
Para
:
Fora do intervalo.
Portanto, os valores de
que satisfazem a conclusão do TVM são
,
,
e
.
Resposta
Os números
que satisfazem a conclusão do Teorema do Valor Médio no intervalo
são: