Determinar a área da superfície gerada pela rotação da região delimitada por
, em torno do eixo dos x .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a área da superfície gerada quando a região limitada pela reta
no intervalo de
entre 0 e 1 é girada em torno do eixo dos
. Vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente os métodos de integração para encontrar áreas de superfícies de revolução. Precisaremos aplicar a fórmula da área da superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo dos
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que vamos girar e os limites de integração. A função dada é
, e estamos considerando
variando de 0 a 1. Isso significa que estamos olhando para a parte da reta que começa na origem e vai até
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada da função
em relação a
, ou seja,
. A derivada nos ajuda a entender como a inclinação da curva muda, o que é essencial para calcular a área da superfície gerada.
A derivada de
é:
Passo 4
Vamos usar a fórmula para calcular a área da superfície de revolução em torno do eixo dos
:
Aqui,
e
. Substituindo os valores que já encontramos:
Simplificando dentro da raiz:
Portanto, a expressão da integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral:
Substituindo de volta na expressão para
:
Resposta
A área da superfície gerada pela rotação é
unidades de área.