Determinar a área da superfície gerada pela rotação da região delimitada por y=12 x, 0 <= x <= 1, em torno do eixo dos x .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a área da superfície gerada quando a região limitada pela reta y = 12x no intervalo de x entre 0 e 1 é girada em torno do eixo dos x . Vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente os métodos de integração para encontrar áreas de superfícies de revolução. Precisaremos aplicar a fórmula da área da superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo dos x .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que vamos girar e os limites de integração. A função dada é y = 12x , e estamos considerando x variando de 0 a 1. Isso significa que estamos olhando para a parte da reta que começa na origem e vai até x = 1 .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada da função y em relação a x , ou seja, dydx . A derivada nos ajuda a entender como a inclinação da curva muda, o que é essencial para calcular a área da superfície gerada.
A derivada de y = 12x é:
dydx = 12

Passo 4

Vamos usar a fórmula para calcular a área da superfície de revolução em torno do eixo dos x :
S = 2pi integrala^b y raiz1 + ( dydx )^2 , dx
Aqui, a = 0 e b = 1 . Substituindo os valores que já encontramos:
S = 2pi integral0^1 ( 12x ) raiz1 + ( 12 )^2 , dx
Simplificando dentro da raiz:
raiz1 + ( 12 )^2 = raiz1 + 14 = raiz54 = raiz52
Portanto, a expressão da integral fica:
S = 2pi cdot raiz52 integral0^1 12x , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
integral0^1 12x , dx = 12 integral0^1 x , dx = 12 [ x^22 ]0^1 = 12 ( 12 - 0 ) = 14
Substituindo de volta na expressão para S :
S = 2pi cdot raiz52 cdot 14 = pi cdot raiz54

Resposta

A área da superfície gerada pela rotação é pi raiz54 unidades de área.

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