- Um campeonato é disputado por 12 clubes em rodadas de 6 jogos cada. De quantos modos é possível selecionar os jogos da primeira rodada? 7) Quando 20 pessoas encontram-se em uma festa e todos se cumprimentam, quantos cumprimentos ocorrem no total ?
Passo 1
Enunciados e dados claros:
-
Primeiro problema: temos
clubes que vão disputar a primeira rodada do campeonato em jogos simultâneos (cada jogo envolve exatamente clubes). A pergunta é: de quantos modos é possível selecionar quais serão os jogos da primeira rodada?
Dados relevantes: háclubes distintos; cada jogo é um par de clubes; a ordem dos jogos não importa (ou seja, trocar de lugar os jogos não cria uma nova seleção) e a ordem dos dois clubes dentro de um jogo também não importa (um jogo A vs B é o mesmo que B vs A). -
Segundo problema: em uma festa há
pessoas e todos se cumprimentam entre si uma única vez. A pergunta é: quantos cumprimentos ocorrem no total?
Dados relevantes:pessoas distintas; cada cumprimento envolve exatamente pessoas; cada par de pessoas se cumprimenta exatamente uma vez; a ordem não importa (A cumprimenta B é o mesmo cumprimento que B cumprimenta A).
Passo 2
Entendendo e modelando o primeiro problema (contando pareamentos): ideia geral e contagem inicial.
Pense nos clubes como
etiquetas diferentes. Uma maneira direta de contar (mas que contém repetições) é ordenar todos os
clubes numa fila e depois formar os pares adjacentes: os primeiros dois formam o primeiro jogo, os próximos dois o segundo, e assim por diante. O número de ordens possíveis da fila é
(fatorial de
), pois existem
maneiras de permutar
objetos.
Mas essa contagem conta várias vezes a mesma seleção de jogos, por dois motivos que vamos explicar e corrigir.
Pense nos
Mas essa contagem conta várias vezes a mesma seleção de
Passo 3
Por que dividir por
e por
: explicação didática.
- Dentro de cada par (jogo) a ordem dos dois clubes não importa: a permutação
e representam o mesmo jogo. Para cada par isso gera um fator de repetições; como há pares, devemos dividir por para eliminar essa repetição. - Além disso, a ordem entre os
pares também não importa: se eu trocar inteiro o primeiro jogo com o segundo jogo na fila, a seleção final de jogos continua a mesma. Há maneiras de permutar os pares entre si, então devemos dividir por .
Assim a fórmula correta é obter todas as permutaçõese dividir por (ordem dentro de pares) e por (ordem entre pares).
Passo 4
Escrevendo a fórmula final para o primeiro problema e simplificando passo a passo.
A contagem é
A contagem é
Agora simplifico manualmente para ficar fácil de calcular sem calculadora. Escrevo
como
, então cancelamos o
:
Agora calculo o numerador passo a passo:
Divido por
:
Passo 5
Observação alternativa (intuição extra): produto de números ímpares decrescentes (dupla fatorial). Outra forma comum de ver o mesmo resultado é perceber que o número de pareamentos perfeitos de
elementos é
Multiplicando:
,
,
,
, e multiplicando por
não muda. Dá o mesmo
. Essa forma vem de escolher um parceiro para um clube (11 opções), depois para o próximo não pareado (9), e assim por diante, sempre lembrando de que a ordem dos pares não importa — o que já é levado em conta no produto desses ímpares.
Passo 6
Resolvendo o segundo problema (cumprimentos): explicando combinações e raciocínio.
Cada cumprimento é determinado por um par de pessoas diferentes; trocar a ordem das pessoas no cumprimento não cria um cumprimento novo. Então queremos contar o número de pares não ordenados distintos que podem ser formados com pessoas. Isso é exatamente a combinação
, cujo significado e fórmula são: escolher
pessoas entre
sem importância da ordem,
Cada cumprimento é determinado por um par de pessoas diferentes; trocar a ordem das pessoas no cumprimento não cria um cumprimento novo. Então queremos contar o número de pares não ordenados distintos que podem ser formados com
Faço a conta:
Passo 7
Intuição alternativa para o segundo problema (soma dos cumprimentos progressivos): pense na primeira pessoa que chega e cumprimenta as outras
; a segunda pessoa já cumprimentou a primeira, então cumprimenta mais
novas; a terceira cumprimenta mais
novas, e assim por diante até a penúltima que cumprimenta
. Soma:
que confirma o resultado anterior.