1. Um campeonato é disputado por 12 clubes em rodadas de 6 jogos cada. De quantos modos é possível selecionar os jogos da primeira rodada? 7) Quando 20 pessoas encontram-se em uma festa e todos se cumprimentam, quantos cumprimentos ocorrem no total ?

Passo 1

Enunciados e dados claros:
  1. Primeiro problema: temos 12 clubes que vão disputar a primeira rodada do campeonato em 6 jogos simultâneos (cada jogo envolve exatamente 2 clubes). A pergunta é: de quantos modos é possível selecionar quais serão os 6 jogos da primeira rodada?
    Dados relevantes: há 12 clubes distintos; cada jogo é um par de clubes; a ordem dos jogos não importa (ou seja, trocar de lugar os jogos não cria uma nova seleção) e a ordem dos dois clubes dentro de um jogo também não importa (um jogo A vs B é o mesmo que B vs A).
  2. Segundo problema: em uma festa há 20 pessoas e todos se cumprimentam entre si uma única vez. A pergunta é: quantos cumprimentos ocorrem no total?
    Dados relevantes: 20 pessoas distintas; cada cumprimento envolve exatamente 2 pessoas; cada par de pessoas se cumprimenta exatamente uma vez; a ordem não importa (A cumprimenta B é o mesmo cumprimento que B cumprimenta A).

Passo 2

Entendendo e modelando o primeiro problema (contando pareamentos): ideia geral e contagem inicial.
Pense nos 12 clubes como 12 etiquetas diferentes. Uma maneira direta de contar (mas que contém repetições) é ordenar todos os 12 clubes numa fila e depois formar os pares adjacentes: os primeiros dois formam o primeiro jogo, os próximos dois o segundo, e assim por diante. O número de ordens possíveis da fila é 12! (fatorial de 12), pois existem 12! maneiras de permutar 12 objetos.
Mas essa contagem conta várias vezes a mesma seleção de 6 jogos, por dois motivos que vamos explicar e corrigir.

Passo 3

Por que dividir por 2^6 e por 6!: explicação didática.
  • Dentro de cada par (jogo) a ordem dos dois clubes não importa: a permutação (A,B) e (B,A) representam o mesmo jogo. Para cada par isso gera um fator 2 de repetições; como há 6 pares, devemos dividir por 2^6 para eliminar essa repetição.
  • Além disso, a ordem entre os 6 pares também não importa: se eu trocar inteiro o primeiro jogo com o segundo jogo na fila, a seleção final de jogos continua a mesma. Há 6! maneiras de permutar os 6 pares entre si, então devemos dividir por 6!.
    Assim a fórmula correta é obter todas as permutações 12! e dividir por 2^6 (ordem dentro de pares) e por 6! (ordem entre pares).

Passo 4

Escrevendo a fórmula final para o primeiro problema e simplificando passo a passo.
A contagem é
\frac{12!}{2^{6}\cdot 6!}.
Agora simplifico manualmente para ficar fácil de calcular sem calculadora. Escrevo 12! como 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!, então cancelamos o 6!:
\frac{12!}{2^{6}\cdot 6!}=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!}{64\cdot 6!}=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{64}.
Agora calculo o numerador passo a passo:
12\cdot 11 = 132,
132\cdot 10 = 1320,
1320\cdot 9 = 11880,
11880\cdot 8 = 95040,
95040\cdot 7 = 665280.
Divido por 64:
\frac{665280}{64}=10395.

Passo 5

Observação alternativa (intuição extra): produto de números ímpares decrescentes (dupla fatorial). Outra forma comum de ver o mesmo resultado é perceber que o número de pareamentos perfeitos de 12 elementos é
11\cdot 9\cdot 7\cdot 5\cdot 3\cdot 1.
Multiplicando: 11\cdot 9=99, 99\cdot7=693, 693\cdot5=3465, 3465\cdot3=10395, e multiplicando por 1 não muda. Dá o mesmo 10395. Essa forma vem de escolher um parceiro para um clube (11 opções), depois para o próximo não pareado (9), e assim por diante, sempre lembrando de que a ordem dos pares não importa — o que já é levado em conta no produto desses ímpares.

Passo 6

Resolvendo o segundo problema (cumprimentos): explicando combinações e raciocínio.
Cada cumprimento é determinado por um par de pessoas diferentes; trocar a ordem das pessoas no cumprimento não cria um cumprimento novo. Então queremos contar o número de pares não ordenados distintos que podem ser formados com 20 pessoas. Isso é exatamente a combinação \binom{20}{2}, cujo significado e fórmula são: escolher 2 pessoas entre 20 sem importância da ordem,
\binom{20}{2}=\frac{20!}{2!\,(20-2)!}=\frac{20\cdot 19}{2}.
Faço a conta:
\frac{20\cdot 19}{2}=\frac{380}{2}=190.

Passo 7

Intuição alternativa para o segundo problema (soma dos cumprimentos progressivos): pense na primeira pessoa que chega e cumprimenta as outras 19; a segunda pessoa já cumprimentou a primeira, então cumprimenta mais 18 novas; a terceira cumprimenta mais 17 novas, e assim por diante até a penúltima que cumprimenta 1. Soma:
19+18+\cdots+1=\frac{19\cdot 20}{2}=190,
que confirma o resultado anterior.

Resposta

10395
190

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