Uma pessoa deseja viajar de Recife a Porto Alegre passando por São Paulo. Sabendo-se que há 4 roteiros diferentes para chegar a são Paulo, partindo de Recife e 3 roteiros diferentes para chegar a Porto Alegre partindo de São Paulo, de quantas maneiras possíveis essa pessoa poderá viajar de Recife a Porto Alegre ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação 1: há \,4\, roteiros diferentes para ir de Recife até São Paulo.
  • Informação 2: há \,3\, roteiros diferentes para ir de São Paulo até Porto Alegre.
  • Pergunta: de quantas maneiras possíveis a pessoa pode viajar de Recife a Porto Alegre passando por São Paulo?

Passo 2

Vamos entender o princípio que usamos aqui (explicação didática e concreta).
Princípio da contagem (regra do produto): se uma tarefa é feita em duas etapas sequenciais e a primeira etapa pode ser realizada de \,a\, maneiras e, independentemente da escolha feita na primeira etapa, a segunda etapa pode ser realizada de \,b\, maneiras, então a tarefa completa (as duas etapas) pode ser feita de \,a\times b\, maneiras.
Por que isso funciona? Pense assim: para cada escolha da primeira etapa há um conjunto inteiro de escolhas da segunda etapa. Se há \,a\, possibilidades iniciais e cada uma delas “abre” \,b\, possibilidades seguintes, o total é a soma de b adicionados a vezes, ou seja b+b+\dots+b ( a vezes) = a\cdot b.
Exemplo concreto e simples (para fixar a ideia): suponha que eu tenha \,2\, camisetas e \,3\, calças. Quantos conjuntos camiseta+calça posso formar? Pela regra do produto: \,2\times 3=6\,. Se eu listar: para a camiseta C_1 tenho (C_1,P_1),(C_1,P_2),(C_1,P_3); para C_2 tenho (C_2,P_1),(C_2,P_2),(C_2,P_3). No total 6 pares.

Passo 3

Aplicando isso ao problema: as duas etapas são
  1. escolher o roteiro de Recife a São Paulo (temos \,4\, escolhas),
  2. escolher o roteiro de São Paulo a Porto Alegre (temos \,3\, escolhas).
Como a escolha do trecho São Paulo→Porto Alegre não depende de qual roteiro usamos para chegar a São Paulo, podemos multiplicar as quantidades:
4 \times 3 = 12.
Posso também ilustrar listando de forma simbólica: chame os roteiros Recife→São Paulo de \,R_1,R_2,R_3,R_4\, e os roteiros São Paulo→Porto Alegre de \,S_1,S_2,S_3\,. As viagens possíveis são todos os pares (R_i,S_j) com i\in\{1,2,3,4\} e j\in\{1,2,3\}. Isso gera 3 pares para cada um dos 4 R_i, totalizando \,12\, pares.

Passo 4

Resumo final e incentivo rápido: portanto, multiplicando as escolhas das duas etapas chegamos ao total de maneiras possíveis. Respire fundo — é só aplicar a regra do produto!

Resposta

12

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