O campo F(x, y, z)=(3 x^2 z+y^3, 3 x y^2+e^z, x^3+y e^z) é conservativo? Caso F seja conservativo determine uma função potencial de F.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vec F(x,y,z)=(3x^2z+y^3,;3xy^2+e^z,;x^3+ye^z) é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial. O conteúdo envolve campos vetoriais conservativos, uso de nablatimesvec F e integração para obter a potencial.

Passo 2

Em um domínio simplesmente conexo (como R^3), um campo vetorial vec F=(P,Q,R) é conservativo se, e somente se, sua rotacional é zero: nablatimesvec F=0. Vamos calcular as derivadas parciais relevantes.

Passo 3

Calculemos dfracpartial Ppartial y e dfracpartial Qpartial x:
P=3x^2z+y^3impliespartial Ppartial y=3y^2,
Q=3xy^2+e^zimpliespartial Qpartial x=3y^2
Os dois são iguais.
Agora dfracpartial Ppartial z e dfracpartial Rpartial x:
partial Ppartial z=3x^2,
R=x^3+ye^zimpliespartial Rpartial x=3x^2
E por fim dfracpartial Qpartial z e dfracpartial Rpartial y:
partial Qpartial z=e^z,
partial Rpartial y=e^z

Passo 4

Como todas as componentes do rotacional coincidem, temos nablatimesvec F=0, logo vec F é conservativo em R^3.

Passo 5

Para achar a função potencial f(x,y,z) tal que nabla f=vec F, integramos P em relação a x:
f(x,y,z)=integral(3x^2z+y^3),dx=x^3z+xy^3+h(y,z)

Passo 6

Derivando essa expressão em relação a y e igualando a Q para identificar h(y,z):
partial fpartial y=3xy^2+partial hpartial ystackrel!=3xy^2+e^zimpliespartial hpartial y=e^z
Integrando em y:
h(y,z)=ye^z+k(z)

Passo 7

Derivando f completo em relação a z e igualando a R para achar k(z):
f(x,y,z)=x^3z+xy^3+ye^z+k(z),
partial fpartial z=x^3+ye^z+k'(z)stackrel!=x^3+ye^zimplies k'(z)=0
Logo k(z) é constante.

Passo 8

Portanto a função potencial (até constante aditiva) é
f(x,y,z)=x^3z+xy^3+ye^z+C

Resposta

f(x,y,z)=x^3z+xy^3+ye^z+C, com C constante.

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