O campo
é conservativo? Caso
seja conservativo determine uma função potencial de
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial. O conteúdo envolve campos vetoriais conservativos, uso de
e integração para obter a potencial.
Passo 2
Em um domínio simplesmente conexo (como
), um campo vetorial
é conservativo se, e somente se, sua rotacional é zero:
. Vamos calcular as derivadas parciais relevantes.
Passo 3
Calculemos
e
:
Os dois são iguais.
Agora
E por fim
Passo 4
Como todas as componentes do rotacional coincidem, temos
, logo
é conservativo em
.
Passo 5
Para achar a função potencial
tal que
, integramos
em relação a
:
Passo 6
Derivando essa expressão em relação a
e igualando a
para identificar
:
Integrando em
Passo 7
Derivando
completo em relação a
e igualando a
para achar
:
Logo
Passo 8
Portanto a função potencial (até constante aditiva) é