Utilize o método de variação dos parâmetros, resolva as EDOs:
y^prime prime+y=1tan x

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO
y'' + y = 1tan x = cot x
usando o método de variação dos parâmetros. Aqui a parte homogênea é
yh'' + yh = 0
e a parte não homogênea tem g(x)=cot x.

Passo 2

Encontramos primeiro a solução geral da homogênea. As soluções fundamentais são
y1(x)=cos x, y2(x)=sin x,
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yh(x)=C1cos x + C2sin x

Passo 3

No método de variação dos parâmetros usamos as fórmulas
W(x)= y1 & y2 y1'& y2' , u1'=-g,y2W, u2'=g,y1W
Aqui
W(x)=cos xcdotcos x ;-;sin xcdot(-sin x)=1, g(x)=cot x

Passo 4

Calculamos u1' e integramos:
u1'=-cot x;sin x=-cos x,
u1(x)=integral -cos x,dx=-sin x

Passo 5

Calculamos u2' e integramos:
u2'=cot x;cos x=cos^2 xsin x =1-sin^2 xsin x =csc x-sin x,
u2(x)=integrall(csc x-sin xr)dx =integralcsc x,dx-integralsin x,dx =lnl|tanx2r|+cos x

Passo 6

A solução particular fica
yp=u1,y1+u2,y2 =-sin xcos x+l(lnl|tantfracx2r|+cos xr)sin x =sin x;lnl|tantfracx2r|
Assim a solução geral é
y(x)=yh(x)+yp(x) =C1cos x + C2sin x + sin x;ln!l|tanx2r|

Resposta

y(x)=C1cos x + C2sin x + sin x;ln!l|tanx2r|

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