Seja f um campo escalar e F um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
grad(rot F).

Passo 1

O enunciado nos pede para analisar a expressão
grad(rot,F),
verificando se ela faz sentido no cálculo vetorial elemental e, em caso afirmativo, se é um campo escalar ou vetorial.

Passo 2

Relembremos os tipos de cada operador:
— Para um campo vetorial FcolonR^3toR^3,
rot,F é também um campo vetorial, i.e.
rot,FcolonR^3toR^3
— O operador grad está definido apenas para campos escalares
fcolonR^3toR, produzindo um campo vetorial
gradfcolonR^3toR^3.

Passo 3

Aqui tentaríamos aplicar grad a um campo vetorial
rot,F, mas não existe definição de
grad sobre campos vetoriais no cálculo vetorial elementar.
Em disciplinas avançadas de tensores, podemos definir o gradiente de um vetor
como uma matriz jacobiana (um tensor de segunda ordem), mas esse conceito está
fora do escopo usual de operações como grad, div e rot.

Resposta

A expressão grad(rot,F) não tem significado no cálculo vetorial elemental, pois o operador grad exige um campo escalar de entrada e não um campo vetorial.

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