Utilize o método de variação dos parâmetros, resolva as EDOs:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do segundo grau usando o método de variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Vamos precisar entender um pouco sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e, mais especificamente, sobre o método de variação dos parâmetros, que nos ajuda a encontrar soluções particulares quando temos uma EDO não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma mais simples. Podemos dividir toda a equação por
para simplificar:
Agora, temos uma forma padrão de uma EDO linear não homogênea.
Passo 3
O próximo passo é encontrar a solução geral da equação homogênea associada, ou seja, resolver:
Para resolver essa equação homogênea, percebemos que é uma equação de Cauchy-Euler. Nesse tipo de equação, assumimos uma solução do tipo
, onde
é um número que vamos determinar.
Passo 4
Substituindo
na equação homogênea:
Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando cada termo:
Fatorando
:
Como
, temos:
Simplificando:
Então:
Passo 5
As soluções da equação homogênea são então:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa não homogênea usando o método de variação dos parâmetros.
Sabemos que a solução geral será:
Passo 7
Para aplicar o método de variação dos parâmetros, assumimos que as constantes
e
são funções de
, ou seja,
e
.
Então, a solução assume a forma:
Passo 8
Calculamos as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 9
No método de variação dos parâmetros, impomos uma condição para simplificar os cálculos:
Essa condição ajuda a eliminar termos complicados na segunda derivada.
Passo 10
Substituindo
,
e
na equação original e aplicando a condição acima, obtemos uma equação para
e
.
Após simplificações, encontramos:
Passo 11
Integrando
e
:
Como estamos procurando uma solução particular, podemos tomar
.
Passo 12
Então, a solução particular é:
Passo 13
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.