Utilize o método de variação dos parâmetros, resolva as EDOs:
x^2 cdot d^2 yd x^2+x cdot d yd x-y=x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do segundo grau usando o método de variação dos parâmetros. A equação que temos é:
x^2 cdot d^2 yd x^2 + x cdot d yd x - y = x^2
Vamos precisar entender um pouco sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e, mais especificamente, sobre o método de variação dos parâmetros, que nos ajuda a encontrar soluções particulares quando temos uma EDO não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma mais simples. Podemos dividir toda a equação por x^2 para simplificar:
d^2 yd x^2 + 1x cdot d yd x - yx^2 = 1
Agora, temos uma forma padrão de uma EDO linear não homogênea.

Passo 3

O próximo passo é encontrar a solução geral da equação homogênea associada, ou seja, resolver:
d^2 yd x^2 + 1x cdot d yd x - yx^2 = 0
Para resolver essa equação homogênea, percebemos que é uma equação de Cauchy-Euler. Nesse tipo de equação, assumimos uma solução do tipo y = x^m, onde m é um número que vamos determinar.

Passo 4

Substituindo y = x^m na equação homogênea:
Primeiro, calculamos as derivadas:
d yd x = m x^m-1
d^2 yd x^2 = m(m-1) x^m-2
Substituindo na equação:
m(m-1) x^m-2 + 1x cdot m x^m-1 - x^mx^2 = 0
Simplificando cada termo:
m(m-1) x^m-2 + m x^m-2 - x^m-2 = 0
Fatorando x^m-2:
x^m-2 [m(m-1) + m - 1] = 0
Como x^m-2 neq 0, temos:
m(m-1) + m - 1 = 0
Simplificando:
m^2 - m + m - 1 = m^2 - 1 = 0
Então:
m^2 = 1 Rightarrow m = pm 1

Passo 5

As soluções da equação homogênea são então:
yh = C1 x + C2 1x
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp para a equação completa não homogênea usando o método de variação dos parâmetros.
Sabemos que a solução geral será:
y = yh + yp

Passo 7

Para aplicar o método de variação dos parâmetros, assumimos que as constantes C1 e C2 são funções de x, ou seja, C1(x) e C2(x).
Então, a solução assume a forma:
y = C1(x) x + C2(x) 1x

Passo 8

Calculamos as derivadas de y:
Primeira derivada:
d yd x = C1'(x) x + C1(x) + C2'(x) 1x - C2(x) 1x^2
Segunda derivada:
d^2 yd x^2 = C1''(x) x + 2 C1'(x) + C2''(x) 1x - 2 C2'(x) 1x^2 + 2 C2(x) 1x^3

Passo 9

No método de variação dos parâmetros, impomos uma condição para simplificar os cálculos:
C1'(x) x + C2'(x) 1x = 0
Essa condição ajuda a eliminar termos complicados na segunda derivada.

Passo 10

Substituindo y, d yd x e d^2 yd x^2 na equação original e aplicando a condição acima, obtemos uma equação para C1'(x) e C2'(x).
Após simplificações, encontramos:
C1'(x) = x^32
C2'(x) = -x2

Passo 11

Integrando C1'(x) e C2'(x):
C1(x) = integral x^32 dx = x^48 + K1
C2(x) = integral -x2 dx = -x^24 + K2
Como estamos procurando uma solução particular, podemos tomar K1 = K2 = 0.

Passo 12

Então, a solução particular é:
yp = C1(x) x + C2(x) 1x = ( x^48 ) x + ( -x^24 ) 1x = x^58 - x4

Passo 13

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y = yh + yp = C1 x + C2 1x + x^58 - x4

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 x + C2 1x + x^58 - x4
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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