O que é um campo conservativo? Dê um exemplo de um campo conservativo e outro que não é.
P11. É verdade que se nabla times F=0, então F é conservativo?

Passo 1

O enunciado pede (1) a definição de campo conservativo, (2) um exemplo de campo que seja conservativo e (3) um exemplo de campo que não seja, e por fim (P11) questiona se basta ter nablatimesvec F=vec 0 para garantir que vec F seja conservativo. Para responder isso vamos usar conceitos de potencial escalar, independência de caminho e o papel do rotor e da conectividade do domínio.

Passo 2

Definimos um campo vetorial vec F como conservativo se existir uma função escalar phi tal que
vec F = nablaphi
Nesse caso, a integral de linha de vec F entre dois pontos independe do caminho escolhido (já que depende apenas da diferença phi(fim)-phi(início)í).

Passo 3

Exemplo de campo conservativo:
vec F(x,y,z) = (2x,,2y,,2z)
Aqui podemos tomar o potencial
phi(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2,
pois
nablaphi = l(tfracpartialphipartial x,tfracpartialphipartial y,tfracpartialphipartial zr) = (2x,2y,2z) = vec F
Logo vec F é conservativo.

Passo 4

Exemplo de campo NÃO conservativo:
vec G(x,y) = (-y,;x)
Calculamos o rotor em duas dimensões (identificando-o à componente z do rotor 3D):
nablatimesvec G = partialpartial x(x) - partialpartial y(-y) = 1 -(-1) = 2neq 0
Como nablatimesvec Gneqvec 0, não existe potencial phi tal que vec G=nablaphi, logo vec G não é conservativo.

Passo 5

P11. Será que basta ter nablatimesvec F=vec 0 para garantir que vec F seja conservativo?
Em domínios simplesmente conectos e para campos de classe C^1, vale o teorema clássico:
nablatimesvec F=vec 0 Long<=ftrightarrow vec F é conservativo é
Porém, em domínios que não são simplesmente conectos isso pode falhar. Um contraexemplo clássico em R^2setminus0 é
vec H(x,y) = l(-tfracyx^2+y^2,;tfracxx^2+y^2r)
Nesse domínio nablatimesvec H=vec 0, mas se você calcular a integral em torno da circunferência unidade,
oint|r|=1vec Hcdot dvec r =2pineq 0,
o que mostra que vec H não é conservativo.

Resposta

Um campo conservativo é aquele que pode ser escrito como vec F=nablaphi para algum potencial phi, o que garante independência de caminho na integral de linha.
Exemplo conservativo: vec F(x,y,z)=(2x,2y,2z) com phi=x^2+y^2+z^2.
Exemplo não conservativo: vec G(x,y)=(-y,x), pois nablatimesvec Gneqvec 0.
Quanto a P11, “ nablatimesvec F=vec 0 implica vec F conservativo” vale apenas em domínios simplesmente conectos; em domínios com “buracos” (como R^2setminus0) pode falhar.

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