O que é um campo conservativo? Dê um exemplo de um campo conservativo e outro que não é.
P11. É verdade que se
, então
é conservativo?
P11. É verdade que se
Passo 1
O enunciado pede (1) a definição de campo conservativo, (2) um exemplo de campo que seja conservativo e (3) um exemplo de campo que não seja, e por fim (P11) questiona se basta ter
para garantir que
seja conservativo. Para responder isso vamos usar conceitos de potencial escalar, independência de caminho e o papel do rotor e da conectividade do domínio.
Passo 2
Definimos um campo vetorial
como conservativo se existir uma função escalar
tal que
Nesse caso, a integral de linha de
entre dois pontos independe do caminho escolhido (já que depende apenas da diferença
).
Passo 3
Exemplo de campo conservativo:
Aqui podemos tomar o potencial
pois
Logo
é conservativo.
Passo 4
Exemplo de campo NÃO conservativo:
Calculamos o rotor em duas dimensões (identificando-o à componente
do rotor 3D):
Como
, não existe potencial
tal que
, logo
não é conservativo.
Passo 5
P11. Será que basta ter
para garantir que
seja conservativo?
Em domínios simplesmente conectos e para campos de classe , vale o teorema clássico:
Em domínios simplesmente conectos e para campos de classe
Porém, em domínios que não são simplesmente conectos isso pode falhar. Um contraexemplo clássico em
é
Nesse domínio
, mas se você calcular a integral em torno da circunferência unidade,
o que mostra que
não é conservativo.
Resposta
Um campo conservativo é aquele que pode ser escrito como
para algum potencial
, o que garante independência de caminho na integral de linha.
Exemplo conservativo: com
.
Exemplo não conservativo: , pois
.
Quanto a P11, “ implica
conservativo” vale apenas em domínios simplesmente conectos; em domínios com “buracos” (como
) pode falhar.
Exemplo conservativo:
Exemplo não conservativo:
Quanto a P11, “