Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha
integralC F cdot d r
onde F(x, y)=(-y, x) e C é o contorno do triângulo com vértices em (0,0),(1,0) e (1,1), percorrido no sentio anti-horário.

Passo 1

Estamos calculando a integral de linha
integralCFcdot dr
onde F(x,y)=(-y,x) e C é o contorno do triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (1,1), percorrido no sentido anti-horário. Vamos aplicar o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha numa integral dupla sobre a região interna D.

Passo 2

O Teorema de Green diz que, se F=(P,Q) e C é o contorno de D positivamente orientado, então
integralCP,dx + Q,dy ;=;integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA

Passo 3

Aqui temos
P(x,y) = -y, Q(x,y) = x
Calculamos as derivadas parciais
partial Qpartial x = 1, partial Ppartial y = -1,
logo o integrando é
partial Qpartial x-partial Ppartial y =1-(-1)=2

Passo 4

A região D é o triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (1,1). Podemos descrevê-lo por
0 <= x <= 1, 0 <= y <= x

Passo 5

Aplicando Green, a integral de linha vira
integral duplaD2,dA =integralx=0^1!integraly=0^x2,dy,dx
Calculando primeiro em y:
integral0^x2,dy = 2x,
depois em x:
integral0^12x,dx = l[x^2r]0^1 = 1

Resposta

1

Exercícios relacionados