Mostre que:
nabla times(f u)=f nabla times u+(nabla f) times u;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade vetorial que envolve o rotor (curl) de um produto entre uma função escalar f e um campo vetorial u. O conteúdo é cálculo vetorial, vamos precisar usar a definição de rotor em coordenadas cartesianas e as propriedades da derivada de um produto.

Passo 2

Lembrando que, em coordenadas (x,y,z), o rotor de um campo v=(v1,v2,v3) é dado por
$$\nabla \times \mathbf{v} = \left(\frac{\partial v_3}{\partial y} - \frac{\partial v_2}{\partial z},\n\frac{\partial v_1}{\partial z} - \frac{\partial v_3}{\partial x},\n\frac{\partial v_2}{\partial x} - \frac{\partial v_1}{\partial y}\right).
$$

Passo 3

Agora aplicamos isso ao campo fu=(f u1, f u2, f u3). Por exemplo, a primeira componente do rotor é
$$(\nabla \times (f\mathbf{u}))_1 = \frac{\partial}{\partial y}(f u_3) - \frac{\partial}{\partial z}(f u_2).
$$

Passo 4

Usando a regra do produto para derivadas obtemos
$$\frac{\partial}{\partial z}(f u_2) = \frac{\partial f}{\partial z} u_2 + f \frac{\partial u_2}{\partial z}.
$$

Passo 5

Subtraindo, ficamos com
$$(\nabla \times (f\mathbf{u}))_1 = f\Bigl(\frac{\partial u_3}{\partial y} - \frac{\partial u_2}{\partial z}\Bigr) + \Bigl(\frac{\partial f}{\partial y}u_3 - \frac{\partial f}{\partial z}u_2\Bigr).
$$

Passo 6

Reconhecemos que f(partialy u3 - partialz u2) é a primeira componente de f(nabla times u) e (partialy f)u3 - (partialz f)u2 é a primeira componente de (nabla f) times u. O mesmo vale para as outras componentes por simetria.

Passo 7

Agrupando então componente a componente, concluímos que
$$\nabla \times (f\mathbf{u}) = f,\nabla \times \mathbf{u} + (\nabla f) \times \mathbf{u}.
$$

Resposta

Portanto, nabla times (fu) = f,nabla times u + (nabla f) times u.

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