Mostre que:
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade vetorial que envolve o rotor (curl) de um produto entre uma função escalar f e um campo vetorial
. O conteúdo é cálculo vetorial, vamos precisar usar a definição de rotor em coordenadas cartesianas e as propriedades da derivada de um produto.
Passo 2
Lembrando que, em coordenadas
, o rotor de um campo
é dado por
$$\nabla \times \mathbf{v} = \left(\frac{\partial v_3}{\partial y} - \frac{\partial v_2}{\partial z},\n\frac{\partial v_1}{\partial z} - \frac{\partial v_3}{\partial x},\n\frac{\partial v_2}{\partial x} - \frac{\partial v_1}{\partial y}\right).
$$
Passo 3
Agora aplicamos isso ao campo
. Por exemplo, a primeira componente do rotor é
$$(\nabla \times (f\mathbf{u}))_1 = \frac{\partial}{\partial y}(f u_3) - \frac{\partial}{\partial z}(f u_2).
$$
Passo 4
Usando a regra do produto para derivadas obtemos
$$\frac{\partial}{\partial z}(f u_2) = \frac{\partial f}{\partial z} u_2 + f \frac{\partial u_2}{\partial z}.
$$
Passo 5
Subtraindo, ficamos com
$$(\nabla \times (f\mathbf{u}))_1 = f\Bigl(\frac{\partial u_3}{\partial y} - \frac{\partial u_2}{\partial z}\Bigr) + \Bigl(\frac{\partial f}{\partial y}u_3 - \frac{\partial f}{\partial z}u_2\Bigr).
$$
Passo 6
Reconhecemos que
é a primeira componente de
e
é a primeira componente de
. O mesmo vale para as outras componentes por simetria.
Passo 7
Agrupando então componente a componente, concluímos que
$$\nabla \times (f\mathbf{u}) = f,\nabla \times \mathbf{u} + (\nabla f) \times \mathbf{u}.
$$
Resposta
Portanto,
.