Qual a maior magnitude de E que pode ser obtida na origem, no vácuo, do arranjo das cargas -1 nC,-1 nC e 2 nC nos pontos (1,0,0),(2,0,0) e (3,0,0), mas não necessariamente desta ordem?

Passo 1

Beleza, o que o enunciado tá pedindo? A gente tem três cargas puntuais de valores –1 nC, –1 nC e +2 nC posicionadas ao longo do eixo x nos pontos x=1 m, x=2 m e x=3 m, mas a ordem delas pode mudar. Queremos achar qual é o arranjo dessas cargas que faz a intensidade do campo elétrico máxima na origem (0,0,0).
Conteúdo: lei de Coulomb e princípio da superposição de campos. Vamos precisar calcular o campo de cada carga na origem, somar vetorialmente (aqui fica só no eixo x) e ver qual combinação dá maior valor absoluto.

Passo 2

Antes de testar combinações, escrevemos a fórmula do campo elétrico gerado por uma carga puntiforme q, a uma distância r, no vácuo:
E = 14pivarepsilon0,qr^2,hat r,
onde vec Ei = 14pivarepsilon0,qiai^2,(-hat x) ;Longrightarrow; Ei,x = -14pivarepsilon0,qiai^2 é o versor que indica direção do ponto de carga até onde a gente quer o campo.
No nosso caso todas as cargas estão em Ex = sumi Ei,x = -14pivarepsilon0sumi qiai^2 e queremos o campo na origem . Então o vetor unitário vai de cada carga até a origem, ou seja, é .
Para uma carga em , a contribuição ao campo na origem é
O campo total no eixo x é
Como a gente quer a maior magnitude de , basta maximizar o valor absoluto da soma
.

Passo 3

Vamos testar qual arranjo de S = 21^2 + -12^2 + -13^2 = 2 - 14 - 19 = 2 - 9+436 = 2 - 1336 = 72-1336 = 5936approx1,639 em dá maior .
  1. Colocar o na posição mais próxima (a=1 m) e as duas cargas nas posições mais distantes (a=2 m e 3 m).
  2. Se você tentar deixar o mais longe, a soma fica menor, e se inverter sinal (tentar tornar bem negativo), o valor absoluto acaba sendo menor que 1{,}639.
Portanto, o maior valor de é .

Passo 4

Só falta multiplicar por Emax = k ,l|sumi qiai^2r|times10^-9 = 9,0times10^9;5936times10^-9 = 9cdot5936 approx14,75;rm N/C e lembrar que cada carga está em nC ( C):

Resposta

A maior magnitude possível do campo elétrico na origem é
boxedEmaxapprox14,75;rm N/C
Esse valor ocorre quando a carga de nC está em m e as cargas de nC em m e m.

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