Duas fendas em uma barreira opaca têm 0,020 \mathrm{~mm} de largura e estão separadas por uma distância de 0,050 \mathrm{~mm}. Quando as fendas são iluminadas com luz monocromática coerente, o número de máximos de interferência contidos no máximo de difração central
□ é 1
□ é 2
□ é 4
□ é 5
□ não pode ser calculado se o comprimento de onda não é conhecido
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
largura de cada fenda: a=0,020\\ \mathrm{mm}.
separação entre as fendas: d=0,050\\ \mathrm{mm}.
Pergunta: quantos máximos de interferência (franjas brilhantes do arranjo de duas fendas) estão contidos no máximo difracional central (ou seja, dentro do envelope da difração central das fendas)?
Passo 2
Explicação das fórmulas que vamos usar (aulas rápidas, passo a passo).
Interferência de duas fendas: os máximos de interferência aparecem nas direções \theta que satisfazem
d \sin\theta = n \lambda,
onde:
d é a distância entre centros das fendas (separação),
\theta é o ângulo de observação medido a partir da normal,
n é um inteiro (orden número do máximo: 0,\pm1,\pm2,\ldots),
\lambda é o comprimento de onda da luz.
Difração de uma fenda (envelope): a condição para os mínimos de difração de cada fenda é
a \sin\theta = m \lambda,
onde:
a é a largura da fenda,
m é um inteiro não nulo (\pm1,\pm2,\ldots). O primeiro mínimo do envelope central corresponde a m=\pm1, portanto às direções onde
a \sin\theta = \pm \lambda.
Comentário amigável: o padrão observado é a interferência rápida (muitas franjas) multiplicada por um envelope mais largo causado pela difração de cada fenda. Queremos contar quantas franjas de interferência cabem dentro desse envelope central (entre os dois primeiros mínimos de difração).
Passo 3
Combinar as duas condições para encontrar quais máximos de interferência ficam dentro do máximo difracional central.
O envelope central de difração existe para ângulos \theta tais que
| \sin\theta | \le \frac{\lambda}{a},
porque os primeiros mínimos estão em \sin\theta = \pm \lambda/a.
Um máximo de interferência de ordem n está em
\sin\theta = \frac{n\lambda}{d}.
Para que esse máximo esteja dentro do envelope central é necessário
Como \lambda>0, podemos simplificar \lambda dos dois lados, obtendo a condição sobre n:
|n| \le \frac{d}{a}.
Observação importante (detalhe que cai na prova): se algum máximo de interferência satisfizer a igualdade |n| = d/a, então ele coincide exatamente com um mínimo de difração e, portanto, tem intensidade zero (está “apagado”). Por isso, quando contarmos os máximos efetivamente visíveis dentro do máximo difracional central, devemos usar a desigualdade estrita
|n| < \frac{d}{a},
ou tratar separadamente o caso em que d/a é inteiro.
Passo 4
Como contar os valores inteiros n que satisfazem a condição.
Os valores possíveis de n são inteiros simétricos: n=0,\pm1,\pm2,\ldots.
Se \dfrac{d}{a} não for inteiro, os n admitidos são todos os inteiros com |n| \le \lfloor d/a \rfloor. O número total de máximos visíveis então é
\text{número} = 2\lfloor d/a \rfloor + 1ú
(ó porque temos os positivos, os negativos e o n=0).
Se \dfrac{d}{a} for exatamente um inteiro N, então os máximos com |n|=N coincidem com mínimos de difração e são apagados, ficando apenas |n| \le N-1. Nesse caso o número de máximos visíveis é
Interpretação rápida: os máximos de interferência com n=0,\pm1,\pm2 ficam dentro do máximo difracional central; n=\pm3 já ficariam fora porque |3|>2,5.
Passo 6
Resumo e incentivo: pronto — deu trabalho, mas a ideia é sempre a mesma na prova: igualar as condições de interferência e de difração, simplificar \lambda e contar inteiros. Se quiser, dou mais exemplos rápidos para treinar esse tipo de contagem.