Campo elétrico. Calcule o campo elétrico total no ponto (1,4,2) devido a uma carga elétrica negativa Q no ponto (3,2,1), um fio carregado homogeneamente (cargas negativas) com densidade linear rhoL ao longo da linha definida por ( x= 0, y=-2 ) e um plano infinito definido por z=5 carregando positivamente com densidade superficial de cargas sigma0 constante. Quando necessário utilize a Lei de Gauss.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre campo elétrico! A ideia é calcular o campo elétrico total no ponto (1, 4, 2) que vem de três fontes diferentes:
  1. Uma carga pontual negativa Q no ponto (3, 2, 1).
  2. Um fio carregado negativamente com densidade linear de carga rhoL ao longo da linha definida por x = 0 e y = -2 .
  3. Um plano infinito no plano z = 5 com densidade superficial de carga positiva sigma0 .
Para resolver isso, vamos calcular o campo elétrico de cada uma dessas fontes no ponto dado e depois somar vetorialmente os campos para encontrar o campo elétrico total.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico devido à carga pontual Q . A fórmula para o campo elétrico de uma carga pontual é dada por:
E = ke Qr^2 r
onde:
  • ke é a constante eletrostática ( 8,99 times 10^9 , N·m^2/C^2 ),
  • r é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo,
  • r é o vetor unitário na direção de r .
Vamos encontrar a distância r entre a carga Q no ponto (3, 2, 1) e o ponto (1, 4, 2):
r = raiz(3-1)^2 + (2-4)^2 + (1-2)^2 = raiz4 + 4 + 1 = raiz9 = 3 , unidades
Agora, o vetor r é:
r = (1-3)i + (4-2)j + (2-1)k = -2i + 2j + 1k
O vetor unitário r é:
r = r|r| = -2i + 2j + 1k3
Então, o campo elétrico devido à carga Q é:
EQ = ke Q3^2 ( -2i + 2j + 1k3 ) = ke Q9 ( -2i + 2j + 1k3 ) = ke Q27 (-2i + 2j + 1k)

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo elétrico devido ao fio carregado com densidade linear rhoL . Para um fio infinito, o campo elétrico a uma distância d do fio é dado por:
E = 2ke |rhoL|d
A direção do campo é radial, perpendicular ao fio.
Primeiro, precisamos encontrar a distância d do ponto (1, 4, 2) até o fio definido por x = 0 e y = -2 . Esse fio está ao longo do eixo z , então a distância d pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras no plano xy :
d = raiz(1-0)^2 + (4 - (-2))^2 = raiz1 + 36 = raiz37
O campo elétrico devido ao fio é perpendicular ao fio e direcionado para fora ou para dentro, dependendo do sinal da carga. Como a carga é negativa, o campo será direcionado em direção ao fio.
Então, o campo elétrico devido ao fio é:
Efio = 2ke |rhoL|raiz37 ( 1i + 6jraiz1^2 + 6^2 ) = 2ke rhoLraiz37 ( 1i + 6jraiz37 ) = 2ke rhoL37 (1i + 6j)

Passo 4

Por fim, vamos calcular o campo elétrico devido ao plano infinito com densidade superficial de carga sigma0 . Para um plano infinito, o campo elétrico é uniforme e dado por:
E = sigma02varepsilon0
onde varepsilon0 é a permissividade do vácuo ( 8,85 times 10^-12 , C^2/N·m^2 ).
A direção do campo elétrico é perpendicular ao plano. Como a carga é positiva, o campo será direcionado para cima, no sentido positivo de z .
Então, o campo elétrico devido ao plano é:
Eplano = sigma02varepsilon0 k

Passo 5

Agora que temos os campos elétricos de cada fonte, vamos somá-los vetorialmente para encontrar o campo elétrico total no ponto (1, 4, 2):
Etotal = EQ + Efio + Eplano
Substituindo os valores que calculamos:
Etotal = ke Q27 (-2i + 2j + 1k) + 2ke rhoL37 (1i + 6j) + sigma02varepsilon0 k

Resposta

O campo elétrico total no ponto (1, 4, 2) é dado por:
boxed Etotal = ke Q27 (-2,i + 2,j + k) + 2ke rhoL37 (,i + 6,j) + sigma02varepsilon0 k

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