Campo elétrico. Calcule o campo elétrico total no ponto
devido a uma carga elétrica negativa
no ponto
, um fio carregado homogeneamente (cargas negativas) com densidade linear
ao longo da linha definida por (
) e um plano infinito definido por
carregando positivamente com densidade superficial de cargas
constante. Quando necessário utilize a Lei de Gauss.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre campo elétrico! A ideia é calcular o campo elétrico total no ponto (1, 4, 2) que vem de três fontes diferentes:
- Uma carga pontual negativa
no ponto (3, 2, 1). - Um fio carregado negativamente com densidade linear de carga
ao longo da linha definida por e . - Um plano infinito no plano
com densidade superficial de carga positiva .
Para resolver isso, vamos calcular o campo elétrico de cada uma dessas fontes no ponto dado e depois somar vetorialmente os campos para encontrar o campo elétrico total.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o campo elétrico devido à carga pontual
. A fórmula para o campo elétrico de uma carga pontual é dada por:
onde:
-
é a constante eletrostática ( ), -
é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo, -
é o vetor unitário na direção de .
Vamos encontrar a distância
entre a carga
no ponto (3, 2, 1) e o ponto (1, 4, 2):
Agora, o vetor
é:
O vetor unitário
é:
Então, o campo elétrico devido à carga
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o campo elétrico devido ao fio carregado com densidade linear
. Para um fio infinito, o campo elétrico a uma distância
do fio é dado por:
A direção do campo é radial, perpendicular ao fio.
Primeiro, precisamos encontrar a distância
do ponto (1, 4, 2) até o fio definido por
e
. Esse fio está ao longo do eixo
, então a distância
pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras no plano
:
O campo elétrico devido ao fio é perpendicular ao fio e direcionado para fora ou para dentro, dependendo do sinal da carga. Como a carga é negativa, o campo será direcionado em direção ao fio.
Então, o campo elétrico devido ao fio é:
Passo 4
Por fim, vamos calcular o campo elétrico devido ao plano infinito com densidade superficial de carga
. Para um plano infinito, o campo elétrico é uniforme e dado por:
onde
é a permissividade do vácuo (
).
A direção do campo elétrico é perpendicular ao plano. Como a carga é positiva, o campo será direcionado para cima, no sentido positivo de
.
Então, o campo elétrico devido ao plano é:
Passo 5
Agora que temos os campos elétricos de cada fonte, vamos somá-los vetorialmente para encontrar o campo elétrico total no ponto (1, 4, 2):
Substituindo os valores que calculamos:
Resposta
O campo elétrico total no ponto (1, 4, 2) é dado por: