Energia eletrostática. No interior de um certo material o potencial clétrico é dado por:
onde
sio constantes positivas.
(a) Determine o campo elétrico nesta regiāo e a densidade volumétrica de cargas.
Descreva a(s) equipotencial(is)
.
(b) Calcule a energia armazenada na região:
e
.
(a) Determine o campo elétrico nesta regiāo e a densidade volumétrica de cargas.
(b) Calcule a energia armazenada na região:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um material onde o potencial elétrico
é dado por:
Aqui,
e
são constantes positivas, e
é a permissividade do vácuo. A questão está dividida em duas partes:
(a) Determinar o campo elétrico nessa região e a densidade volumétrica de cargas. Além disso, descrever a(s) equipotencial(is) onde
.
(b) Calcular a energia armazenada na região delimitada por
,
e
.
Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de eletrostática como relação entre potencial e campo elétrico, a lei de Gauss para determinar a densidade de carga e a expressão para energia armazenada no campo elétrico.
Passo 2
Vamos começar pela alínea (a). Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico
a partir do potencial
.
Sabemos que o campo elétrico está relacionado ao potencial através da relação:
Isso significa que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial. O gradiente em coordenadas cartesianas é dado por:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais do potencial
:
- Derivada em relação a
:
Porque
não depende de
.
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Porque
não depende de
.
Passo 4
Agora, vamos montar o vetor gradiente
:
Portanto, o campo elétrico
é:
Onde
é o vetor unitário na direção
.
Passo 5
Agora, vamos determinar a densidade volumétrica de carga
. Para isso, utilizamos a equação de Gauss na forma differential:
Vamos calcular a divergência de
.
Sabemos que:
Portanto,
Calculando a derivada:
Portanto,
Usando a equação de Gauss:
Passo 6
Agora, vamos descrever a(s) equipotencial(is) onde
.
A equação do potencial é:
Para que
, temos:
Portanto, a única equipotencial onde
é no plano
.
Passo 7
Agora, vamos para a alínea (b): calcular a energia armazenada na região
,
e
.
A energia armazenada no campo elétrico é dada por:
Onde
é o quadrado da magnitude do campo elétrico.
Passo 8
Primeiro, vamos calcular
:
Portanto, a energia é:
Simplificando:
Passo 9
Vamos calcular as integrais. Como a função
não depende de
nem de
, podemos separar as integrais:
Calculando cada integral:
Para a integral em
:
Passo 10
Substituindo as integrais calculadas na expressão de
:
Simplificando os termos:
Resposta
A energia armazenada na região especificada é: