Energia eletrostática. No interior de um certo material o potencial clétrico é dado por:
V(x, y, z)=rho0alpha^2 epsilon0(1-e^-alpha y)(V)
onde alpha1 p0 sio constantes positivas.
(a) Determine o campo elétrico nesta regiāo e a densidade volumétrica de cargas.
Descreva a(s) equipotencial(is) com V=0.
(b) Calcule a energia armazenada na região: 0<x<2 d, 0<y<d e 0<z<d.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um material onde o potencial elétrico V(x, y, z) é dado por:
V(x, y, z) = rho0alpha^2 epsilon0 (1 - e^-alpha y) (V)
Aqui, rho0 e alpha são constantes positivas, e epsilon0 é a permissividade do vácuo. A questão está dividida em duas partes:
(a) Determinar o campo elétrico nessa região e a densidade volumétrica de cargas. Além disso, descrever a(s) equipotencial(is) onde V = 0 .
(b) Calcular a energia armazenada na região delimitada por 0 < x < 2d , 0 < y < d e 0 < z < d .
Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de eletrostática como relação entre potencial e campo elétrico, a lei de Gauss para determinar a densidade de carga e a expressão para energia armazenada no campo elétrico.

Passo 2

Vamos começar pela alínea (a). Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico E a partir do potencial V .
Sabemos que o campo elétrico está relacionado ao potencial através da relação:
E = -nabla V
Isso significa que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial. O gradiente em coordenadas cartesianas é dado por:
nabla V = ( partial Vpartial x, partial Vpartial y, partial Vpartial z )
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais do potencial V(x, y, z) :
V(x, y, z) = rho0alpha^2 epsilon0 (1 - e^-alpha y)
  • Derivada em relação a x :
partial Vpartial x = 0
Porque V não depende de x .
  • Derivada em relação a y :
partial Vpartial y = rho0alpha^2 epsilon0 (0 - (-alpha e^-alpha y)) = rho0alpha epsilon0 e^-alpha y
  • Derivada em relação a z :
partial Vpartial z = 0
Porque V não depende de z .

Passo 4

Agora, vamos montar o vetor gradiente nabla V :
nabla V = ( 0, rho0alpha epsilon0 e^-alpha y, 0 )
Portanto, o campo elétrico E é:
E = -nabla V = ( 0, -rho0alpha epsilon0 e^-alpha y, 0 ) = -rho0alpha epsilon0 e^-alpha y , j
Onde j é o vetor unitário na direção y .

Passo 5

Agora, vamos determinar a densidade volumétrica de carga rho . Para isso, utilizamos a equação de Gauss na forma differential:
nabla cdot E = rhoepsilon0
Vamos calcular a divergência de E .
Sabemos que:
E = ( 0, -rho0alpha epsilon0 e^-alpha y, 0 )
Portanto,
nabla cdot E = partial Expartial x + partial Eypartial y + partial Ezpartial z = 0 + partialpartial y ( -rho0alpha epsilon0 e^-alpha y ) + 0
Calculando a derivada:
partial Eypartial y = -rho0alpha epsilon0 (-alpha e^-alpha y) = rho0epsilon0 e^-alpha y
Portanto,
nabla cdot E = rho0epsilon0 e^-alpha y
Usando a equação de Gauss:
rho0epsilon0 e^-alpha y = rhoepsilon0 implies rho = rho0 e^-alpha y

Passo 6

Agora, vamos descrever a(s) equipotencial(is) onde V = 0 .
A equação do potencial é:
V(x, y, z) = rho0alpha^2 epsilon0 (1 - e^-alpha y) = 0
Para que V = 0 , temos:
1 - e^-alpha y = 0 implies e^-alpha y = 1 implies -alpha y = 0 implies y = 0
Portanto, a única equipotencial onde V = 0 é no plano y = 0 .

Passo 7

Agora, vamos para a alínea (b): calcular a energia armazenada na região 0 < x < 2d , 0 < y < d e 0 < z < d .
A energia armazenada no campo elétrico é dada por:
U = 12 epsilon0 integralV E^2 , dV
Onde E^2 é o quadrado da magnitude do campo elétrico.

Passo 8

Primeiro, vamos calcular :
Portanto, a energia é:
Simplificando:

Passo 9

Vamos calcular as integrais. Como a função não depende de nem de , podemos separar as integrais:
Calculando cada integral:
Para a integral em :

Passo 10

Substituindo as integrais calculadas na expressão de :
Simplificando os termos:

Resposta

A energia armazenada na região especificada é:

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