O gradiente de temperatura d Td x através de uma barra é dado por
d Td x=a+b x
onde a=200 K / m e b=100 K / m^2. Suponha que a temperatura da barra no ponto x=0 seja igual a 280 K . Calcule a temperatura da barra no ponto x=0,4 m

Passo 1

Então, vamos resolver um problema onde a variação da temperatura ao longo de uma barra é dada por dTdx = a + b x. Aqui, a = 200, K/m e b = 100, K/m^2. Sabemos que na posição x = 0, a temperatura T é 280, K. Nosso objetivo é descobrir qual é a temperatura da barra no ponto x = 0,4, m. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração de funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a função T(x) que descreve a temperatura ao longo da barra. Sabemos que a derivada de T em relação a x é dTdx = a + b x. Para encontrar T(x), vamos integrar essa expressão em relação a x.
T(x) = integral (a + b x) dx

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral a , dx = a x + C
integral b x , dx = b2 x^2 + C
Portanto, a função T(x) fica:
T(x) = a x + b2 x^2 + C

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a constante de integração C. Sabemos que quando x = 0, T = 280, K. Vamos substituir esses valores na equação:
280 = 200 cdot 0 + 1002 cdot 0^2 + C
280 = 0 + 0 + C
C = 280, K

Passo 5

Com a constante C encontrada, podemos escrever a expressão completa para T(x):
T(x) = 200 x + 50 x^2 + 280

Passo 6

Agora, substituímos x = 0,4, m na expressão para encontrar a temperatura nesse ponto:
T(0,4) = 200 cdot 0,4 + 50 cdot (0,4)^2 + 280

Passo 7

Calculando cada termo:
200 cdot 0,4 = 80
50 cdot (0,4)^2 = 50 cdot 0,16 = 8
280
Somando tudo:
T(0,4) = 80 + 8 + 280 = 368, K

Resposta

A temperatura da barra no ponto x = 0,4, m é de 368, K.

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