Campo elétrico conservativo em 3D: Considere \vec{E}(x, y, z)=(y z, x z, x y).
(a) Calcule \nabla \times \vec{E} e conclua se o campo é conservativo.
(b) Discuta qualitativamente a circulação ao longo de uma curva fechada arbitrária.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial em \mathbb{R}^3
\vec{E}(x,y,z) = (y z,\; x z,\; x y)
e pede para calcular o rotacional \nabla\times\vec{E} e verificar se o campo é conservativo. Em seguida, queremos discutir a circulação ao longo de qualquer curva fechada. Para resolver, vamos usar a definição de rotacional e o Teorema de Stokes (que liga circulação a fluxo de rotacional).

Passo 2

Aplicamos a definição
\nabla\times\vec{E} =\Bigl(\frac{\partial E_{z}}{\partial y}-\frac{\partial E_{y}}{\partial z},\; \frac{\partial E_{x}}{\partial z}-\frac{\partial E_{z}}{\partial x},\; \frac{\partial E_{y}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x}}{\partial y}\Bigr).
Aqui E_{x}=yz, E_{y}=xz e E_{z}=xy. Então calculamos cada termo:
\frac{\partial E_{z}}{\partial y}=\frac{\partial (xy)}{\partial y}=x, \quad \frac{\partial E_{y}}{\partial z}=\frac{\partial (xz)}{\partial z}=x \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial E_{z}}{\partial y}-\frac{\partial E_{y}}{\partial z}=0.
\frac{\partial E_{x}}{\partial z}=\frac{\partial (yz)}{\partial z}=y, \quad \frac{\partial E_{z}}{\partial x}=\frac{\partial (xy)}{\partial x}=y \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial E_{x}}{\partial z}-\frac{\partial E_{z}}{\partial x}=0.
\frac{\partial E_{y}}{\partial x}=\frac{\partial (xz)}{\partial x}=z, \quad \frac{\partial E_{x}}{\partial y}=\frac{\partial (yz)}{\partial y}=z \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial E_{y}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x}}{\partial y}=0.
Logo
\nabla\times\vec{E} = (0,0,0).

Passo 3

Como \nabla\times\vec{E}=\vec{0} em todo \mathbb{R}^3, e esse domínio é simplesmente conexo, concluímos que \vec{E} é um campo conservativo. Em outras palavras, existe uma função potencial V(x,y,z) tal que \vec{E}=-\nabla V.

Passo 4

Pela definição de circulação e pelo Teorema de Stokes, para qualquer superfície S com fronteira fechada \partial S vale
\oint_{\partial S}\vec{E}\cdot d\vec{r} =\iint_{S}(\nabla\times\vec{E})\cdot d\vec{S} =\iint_{S} \vec{0}\cdot d\vec{S} =0.
Isto mostra qualitativamente que, em qualquer curva fechada, a circulação de \vec{E} é zero.

Resposta

(a) \nabla\times\vec{E}=(0,0,0), logo o campo é conservativo.
(b) A circulação ao longo de qualquer curva fechada vale zero.

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