Campo elétrico conservativo em 3D: Considere
.
(a) Calcule
e conclua se o campo é conservativo.
(b) Discuta qualitativamente a circulação ao longo de uma curva fechada arbitrária.
(a) Calcule
(b) Discuta qualitativamente a circulação ao longo de uma curva fechada arbitrária.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial em
e pede para calcular o rotacional
e verificar se o campo é conservativo. Em seguida, queremos discutir a circulação ao longo de qualquer curva fechada. Para resolver, vamos usar a definição de rotacional e o Teorema de Stokes (que liga circulação a fluxo de rotacional).
Passo 2
Aplicamos a definição
Aqui
,
e
. Então calculamos cada termo:
Logo
Passo 3
Como
em todo
, e esse domínio é simplesmente conexo, concluímos que
é um campo conservativo. Em outras palavras, existe uma função potencial
tal que
.
Passo 4
Pela definição de circulação e pelo Teorema de Stokes, para qualquer superfície
com fronteira fechada
vale
Isto mostra qualitativamente que, em qualquer curva fechada, a circulação de
é zero.
Resposta
(a)
, logo o campo é conservativo.
(b) A circulação ao longo de qualquer curva fechada vale zero.
(b) A circulação ao longo de qualquer curva fechada vale zero.