Circulação e rotacional simples: Considere o campo
.
(a) Calcule
(no plano xy).
(b) Verifique a circulação
ao redor do retângulo com vértices
.
(c) Compare os resultados e comente a validade do teorema de Stokes nesse caso.
(a) Calcule
(b) Verifique a circulação
(c) Compare os resultados e comente a validade do teorema de Stokes nesse caso.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede três coisas:
- Calcular o rotacional (no plano
), isto é . - Calcular a circulação
em torno do retângulo de vértices . - Comparar os resultados com o teorema de Stokes (no plano, que equivale ao teorema de Green) e comentar.
Passo 2
O rotacional bidimensional é dado por
e aqui
,
. Então
Logo
Passo 3
Para a circulação, percorremos o contorno
no sentido anti-horário. Vamos dividir em quatro lados e somar:
(i) lado de baixo :
.
,
,
(i) lado de baixo
(ii) lado da direita
:
.
,
,
(iii) lado de cima
:
vai de
a
.
,
,
(iv) lado da esquerda
:
vai de
a
.
,
,
Somando:
. Logo
Passo 4
O teorema de Green (caso bidimensional do teorema de Stokes) diz que
Como
é constante e a área do retângulo
é
,
coincidindo com a circulação calculada diretamente.
Passo 5
Os resultados batem exatamente, mostrando que o teorema de Stokes (Green) vale para esse campo e região (campo suave e região simplesmente conexa).
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) Os dois resultados coincidem, validando o teorema de Stokes (Green) no plano.
(b)
(c) Os dois resultados coincidem, validando o teorema de Stokes (Green) no plano.