Circulação e rotacional simples: Considere o campo \vec{F}(x, y)=(2 x-y, x+3 y).
(a) Calcule \nabla \times \vec{F} (no plano xy).
(b) Verifique a circulação \oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{l} ao redor do retângulo com vértices (0,0),(1,0),(1,2),(0,2).
(c) Compare os resultados e comente a validade do teorema de Stokes nesse caso.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec{F}(x,y)=(2x-y,\;x+3y) e pede três coisas:
  1. Calcular o rotacional (no plano xy), isto é \nabla\times\vec{F}.
  2. Calcular a circulação \displaystyle\oint_C\vec{F}\cdot d\vec l em torno do retângulo de vértices (0,0)\to(1,0)\to(1,2)\to(0,2)\to(0,0).
  3. Comparar os resultados com o teorema de Stokes (no plano, que equivale ao teorema de Green) e comentar.

Passo 2

O rotacional bidimensional é dado por
\nabla\times\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}(F_2)-\frac{\partial}{\partial y}(F_1)
e aqui F_1=2x-y, F_2=x+3y. Então
\frac{\partial F_2}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(x+3y)=1, \quad \frac{\partial F_1}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(2x-y)=-1.
Logo
\nabla\times\vec{F}=1-(-1)=2.

Passo 3

Para a circulação, percorremos o contorno C no sentido anti-horário. Vamos dividir em quatro lados e somar:
(i) lado de baixo (0,0)\to(1,0): y=0,\;x\in[0,1].
\vec{F}=(2x,\,x), d\vec l=(dx,0),
\vec{F}\cdot d\vec l=2x\,dx, \quad \int_0^1 2x\,dx = \bigl[x^2\bigr]_0^1=1.
(ii) lado da direita (1,0)\to(1,2): x=1,\;y\in[0,2].
\vec{F}=(2-y,\,1+3y), d\vec l=(0,dy),
\vec{F}\cdot d\vec l=(1+3y)\,dy, \quad \int_0^2(1+3y)\,dy=\bigl[y+\tfrac32y^2\bigr]_0^2=2+6=8.
(iii) lado de cima (1,2)\to(0,2): y=2,\;x vai de 1 a 0.
\vec{F}=(2x-2,\,x+6), d\vec l=(dx,0),
\int_1^0(2x-2)\,dx =-\int_0^1(2x-2)\,dx =-\bigl[x^2-2x\bigr]_0^1 =-(-1)=1.
(iv) lado da esquerda (0,2)\to(0,0): x=0,\;y vai de 2 a 0.
\vec{F}=(-y,\,3y), d\vec l=(0,dy),
\int_2^0 3y\,dy =-\int_0^2 3y\,dy =-\bigl[\tfrac32y^2\bigr]_0^2 =-6.
Somando: 1+8+1-6=4. Logo
\oint_C\vec{F}\cdot d\vec l=4.

Passo 4

O teorema de Green (caso bidimensional do teorema de Stokes) diz que
\oint_C\vec{F}\cdot d\vec l =\iint_R(\nabla\times\vec{F})\,dA.
Como \nabla\times\vec{F}=2 é constante e a área do retângulo R é 1\times2=2,
\iint_R 2\,dA = 2\cdot2 = 4,
coincidindo com a circulação calculada diretamente.

Passo 5

Os resultados batem exatamente, mostrando que o teorema de Stokes (Green) vale para esse campo e região (campo suave e região simplesmente conexa).

Resposta

(a) \nabla\times\vec{F}=2.
(b) \displaystyle\oint_C\vec{F}\cdot d\vec l=4.
(c) Os dois resultados coincidem, validando o teorema de Stokes (Green) no plano.

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