Capacitância de geometria simples:
Duas esferas concêntricas de raios a=5 \mathrm{~cm} e b=20 \mathrm{~cm}. Determine C.

Passo 1

O enunciado trata de um capacitor formado por duas esferas metálicas concêntricas de raios \,a=5\text{ cm} e \,b=20\text{ cm}. O conteúdo aqui é capacitância de um capacitor esférico, e vamos precisar da relação C=Q/V, onde V é a diferença de potencial entre as esferas obtida integrando o campo elétrico radial.

Passo 2

Para achar a diferença de potencial \,V entre as esferas, usamos o campo elétrico de uma carga Q distribuída numa casca esférica de raio r:
E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}\,.
Integrando de r=a (esfera interna) até r=b (esfera externa) no sentido do potencial,
V=\int_a^b E(r)\,\mathrm{d}r =\int_a^b\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}\,\mathrm{d}r =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\Bigr).

Passo 3

A capacitância é definida por C=Q/V. Substituindo o V que encontramos,
C=\frac{Q}{\displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\Bigr)} =4\pi\varepsilon_0\;\frac{1}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}} =4\pi\varepsilon_0\,\frac{a\,b}{\,b-a\,}\,.

Passo 4

Agora basta colocar os valores em unidades do Sistema Internacional.
\,a=5\text{ cm}=0{,}05\text{ m}, \,b=20\text{ cm}=0{,}20\text{ m}, e \,\varepsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\text{ F/m}.
C=4\pi\,(8{,}854\times10^{-12})\;\frac{0{,}05\cdot0{,}20}{0{,}20-0{,}05} =4\pi\,(8{,}854\times10^{-12})\;\frac{0{,}01}{0{,}15} \approx7{,}42\times10^{-12}\text{ F}.

Resposta

A capacitância do conjunto é
C\approx7{,}42\times10^{-12}\text{ F}\quad(\text{aproximadamente }7{,}42\text{ pF}).

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