Distribuição contínua de carga: Uma linha de carga \lambda=5 \mu C / m ocupa x \in[0,2 m].
(a) Escreva a expressão do potencial em um ponto P sobre o eixo y, perpendicular à linha, a y=1 \mathrm{~m}.
(b) Avalie numericamente o potencial nesse ponto.

Passo 1

O enunciado descreve uma linha carregada uniformemente ao longo de x\in[0,2\,\mathrm{m}] com densidade linear \lambda=5\,\mu\mathrm{C/m}, e pede o potencial elétrico num ponto P situado sobre o eixo y em y=1\,\mathrm{m}.
O conteúdo é potencial de uma distribuição contínua de carga, usando
V(P)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{dq}{r}\,.

Passo 2

Parametrizamos a carga elementar como
dq = \lambda\,dx
e a distância do elemento dx até P é
r = \sqrt{x^2 + y^2}\quad\text{com}\;y=1\,\mathrm{m}.
Logo o potencial fica
V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{0}^{2}\frac{\lambda\,dx}{\sqrt{x^2+1^2}}.

Passo 3

Colocando constantes fora da integral e usando a integral padrão \displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln\bigl(x+\sqrt{x^2+a^2}\bigr), obtemos
V=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl[\ln\bigl(x+\sqrt{x^2+1}\bigr)\Bigr]_{0}^{2}.

Passo 4

Avaliando em x=2 e x=0:
V=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\ln(2+\sqrt{4+1})-\ln(0+\sqrt{0+1})\Bigr) =\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr).

Passo 5

Agora substituímos valores: \lambda=5\times10^{-6}\,\mathrm{C/m}, \displaystyle\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=9\times10^9\,\mathrm{N\cdot m^2/C^2}.
Então
V=9\times10^9\cdot5\times10^{-6}\,\ln(2+\sqrt{5}) =4{,}5\times10^4\ln(2+\sqrt{5}).
Como \ln(2+\sqrt{5})\approx1{,}4447, resulta
V\approx4{,}5\times10^4\times1{,}4447\approx6{,}50\times10^4\\ \mathrm{V}.

Resposta

V\approx6{,}5\times10^{4}\,\mathrm{V}.

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