Um campo elétrico é dado por E_{x}=2,0 x^{3} \mathrm{kN} / \mathrm{C}. Calcule a diferença de potencia entre os pontos x=1 \mathrm{me} x=2 m do eixo dos x .

Passo 1

O enunciado nos dá um campo elétrico unidimensional ao longo do eixo x:
E_x = 2{,}0\,x^3\\ \mathrm{kN/C}
e pede a diferença de potencial entre os pontos x=1\\ \mathrm{m} e x=2\\ \mathrm{m}.
O conceito que vamos usar é que a diferença de potencial \Delta V = V(2)-V(1) é dada por
\Delta V = -\int_{x=1}^{x=2} E_x\,\mathrm{d}x.

Passo 2

Escrevendo explicitamente o integral com o campo dado, temos
\Delta V = -\int_{1}^{2} \bigl(2{,}0\,x^3\bigr)\,\mathrm{d}x,
onde as unidades são \mathrm{kN/C} para E_x e \mathrm{m} para x.

Passo 3

Fatorando a constante 2{,}0 para fora do integral:
\Delta V = -2{,}0 \int_{1}^{2} x^3\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Sabendo que
\int x^3\,\mathrm{d}x = \frac{x^4}{4},
temos
\Delta V = -2{,}0 \left[\frac{x^4}{4}\right]_{1}^{2}.

Passo 5

Avaliaremos o colchete de x=1 a x=2:
\left[\frac{x^4}{4}\right]_{1}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = 4 - 0{,}25 = 3{,}75.
Portanto,
\Delta V = -2{,}0 \times 3{,}75 = -7{,}5\quad(\mathrm{kN/C}\cdot\mathrm{m}).

Passo 6

Converter \mathrm{kN/C}\cdot\mathrm{m} em \mathrm{V}:
1\\ \mathrm{kN/C}\cdot\mathrm{m} = 1\\ \mathrm{kJ/C} = 10^3\\ \mathrm{V}.
Logo
\Delta V = -7{,}5\\ \mathrm{kV} = -7{,}5\times10^3\\ \mathrm{V}.

Passo 7

Interpretando o sinal: \Delta V<0 significa que o potencial em x=2 é 7{,}5\\ \mathrm{kV} mais baixo que em x=1.

Resposta

\boxed{\Delta V = V(2)-V(1) = -7{,}5\times10^3\\ \mathrm{V}.}

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