Para um campo elétrico definido por \vec{E}=5 x y \vec{a}_{x}+3 z \vec{a}_{z} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, encontre a energia potencial eletrostática armazenada na região definida por 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1 e 0 \leq z \leq 1. Considere \varepsilon=\varepsilon_{0}.

Passo 1

O enunciado fornece o campo elétrico
\vec{E}=5\,x\,y\,\vec{a}_x+3\,z\,\vec{a}_z
e pede a energia potencial eletrostática armazenada no volume 0\le x\le2, 0\le y\le1, 0\le z\le1.
O conteúdo é energia em campos eletrostáticos e vamos usar a densidade de energia em vácuo, com \varepsilon=\varepsilon_0.

Passo 2

A densidade de energia eletrostática é
\displaystyle u=\frac{\varepsilon_0}{2}\,E^2
e a energia total é
\displaystyle U=\int_Vu\,dV=\frac{\varepsilon_0}{2}\int_VE^2\,dV\,.

Passo 3

Calculamos o quadrado da intensidade do campo:
\displaystyle E^2=(5\,x\,y)^2+(3\,z)^2=25\,x^2y^2+9\,z^2\,.

Passo 4

Integramos o termo 25\,x^2y^2:
\int_0^2\!\int_0^1\!\int_0^1 25\,x^2y^2\,dz\,dy\,dx =25\Bigl(\int_0^2x^2dx\Bigr)\Bigl(\int_0^1y^2dy\Bigr)\Bigl(\int_0^1dz\Bigr) =25\cdot\frac{8}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot1 =\frac{200}{9}\,.

Passo 5

Integramos o termo 9\,z^2:
\int_0^2\!\int_0^1\!\int_0^1 9\,z^2\,dz\,dy\,dx =9\Bigl(\int_0^1z^2dz\Bigr)\Bigl(\int_0^1dy\Bigr)\Bigl(\int_0^2dx\Bigr) =9\cdot\frac{1}{3}\cdot1\cdot2 =6\,.

Passo 6

Somando as contribuições,
\displaystyle \int_VE^2\,dV=\frac{200}{9}+6=\frac{254}{9}\,.
Logo
\displaystyle U=\frac{\varepsilon_0}{2}\,\frac{254}{9}=\frac{127\,\varepsilon_0}{9}\,.

Resposta

\displaystyle U=\frac{127\,\varepsilon_0}{9}\text{ J}\approx1{,}25\times10^{-10}\text{ J.}

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