Questão 5. Um astronauta está sendo testado em uma centrifuga. A centrifuga tem u m raio de 10 m e, partindo do repouso, gira de acordo com a equação \theta(t)=0,5 t^{2}, onde t está em segundos e \theta \mathrm{cm} radianos. No instante t=3,0 \mathrm{~s}, qual é o módulo (a) da velocidade angular, (b) da velocidade linear, (c) da aceleração tangencial e (d) da aceleração radial do astronauta?

Passo 1

O enunciado dá o movimento rotacional de um astronauta numa centrífuga de raio r=10 m, com a posição angular dada por
\theta(t)=0,5\,t^{2},
sendo t em segundos e \theta em radianos. Queremos, no instante t=3{,}0 s, calcular
(a) a velocidade angular \omega,
(b) a velocidade linear v,
(c) a aceleração tangencial a_{t} e
(d) a aceleração radial (centrípeta) a_{r}.
Para isso vamos usar a cinemática rotacional:
\omega(t)=\dfrac{d\theta}{dt}.
\alpha(t)=\dfrac{d\omega}{dt}=\dfrac{d^{2}\theta}{dt^{2}}.
v=r\,\omega.
a_{t}=r\,\alpha.
a_{r}=r\,\omega^{2}.

Passo 2

Calcular a velocidade angular e a aceleração angular:
\omega(t)=\frac{d\theta}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(0,5\,t^{2}\bigr)=t,
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d}{dt}(t)=1\quad(\text{rad/s}^{2}).
No instante t=3{,}0 s:
\omega(3{,}0)=3{,}0\quad(\text{rad/s}),\quad \alpha(3{,}0)=1{,}0\quad(\text{rad/s}^{2}).

Passo 3

Calcular a velocidade linear v usando v=r\,\omega.
Como r=10 m e \omega(3{,}0)=3{,}0 rad/s,
v=10\cdot 3{,}0=30\quad(\text{m/s}).

Passo 4

Calcular a aceleração tangencial a_{t} usando a_{t}=r\,\alpha.
Como \alpha(3{,}0)=1{,}0 rad/ s^{2} e r=10 m,
a_{t}=10\cdot 1{,}0=10\quad(\text{m/s}^{2}).

Passo 5

Calcular a aceleração radial a_{r} usando a_{r}=r\,\omega^{2}.
Como \omega(3{,}0)=3{,}0 rad/s e r=10 m,
a_{r}=10\cdot(3{,}0)^{2}=10\cdot 9=90\quad(\text{m/s}^{2}).

Resposta

(a) \omega=3{,}0 rad/s
(b) v=30 m/s
(c) a_{t}=10 m/ s^{2}
(d) a_{r}=90 m/ s^{2}

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