Duas cargas fixas de +1,0 \mu \mathrm{Ce}-3,0 \mu \mathrm{C} estão separadas por uma distância de 10 cm . Onde podemos localizar uma terceira carga de modo que a força eletrostática líquida sobre ela seja nula?

Passo 1

O enunciado dá duas cargas fixas sobre o mesmo eixo: \displaystyle q_{1}=+1{,}0\\ \mu\mathrm C em x=0 e \displaystyle q_{2}=-3{,}0\\ \mu\mathrm C em x=10\\ \mathrm{cm}.
Queremos achar a posição x para uma carga teste q_{3} (digamos positiva) onde a força eletrostática líquida em q_{3} seja zero.
O conteúdo necessário é a Lei de Coulomb e análise de regiões possíveis ao longo do eixo.

Passo 2

Denotemos por \displaystyle r_{1}=|x-0|=|x|
a distância de q_{3} a q_{1} e por \displaystyle r_{2}=|x-10| (cm)
a distância de q_{3} a q_{2}.
Pela Lei de Coulomb, as magnitudes das forças são
F_{1}=k\,\bigl|q_{1}q_{3}\bigr|/r_{1}^{2},\quad F_{2}=k\,\bigl|q_{2}q_{3}\bigr|/r_{2}^{2}.
Para equilíbrio, F_{1}=F_{2}, isto é
\frac{q_{1}}{r_{1}^{2}}=\frac{|q_{2}|}{r_{2}^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{r_{1}^{2}}=\frac{3}{r_{2}^{2}} \quad\Longrightarrow\quad r_{2}=\sqrt{3}\,r_{1}.

Passo 3

Analisamos as três regiões ao longo do eixo:
(i) Região à esquerda de q_{1} x<0.
Aqui r_{1}=-x e r_{2}=10-x. A igualdade \,10-x=\sqrt{3}(-x) leva a
10 - x = -\sqrt{3}\,x \quad\Longrightarrow\quad 10 = x\,(1-\sqrt{3}) \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{10}{1-\sqrt{3}}\approx -13{,}66\\ \mathrm{cm}.
Esse valor respeita x<0, logo é solução válida.

Passo 4

(ii) Região entre q_{1} e q_{2} 0<x<10.
Aqui r_{1}=x e r_{2}=10-x. A condição 10-x=\sqrt{3}\,x
10 = x\,(1+\sqrt{3}) \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{10}{1+\sqrt{3}} =\frac{10(\sqrt{3}-1)}{2}\approx 3{,}66\\ \mathrm{cm}.
Esse x cai entre 0 e 10 cm, portanto também é solução.

Passo 5

(iii) Região à direita de q_{2} x>10.
A tentativa análoga não gera nenhum x>10 real, então não há solução nessa região.

Resposta

As posições ao longo da reta que anulam a força em q_{3} são: \displaystyle x\approx -13{,}66\\ \mathrm{cm} (13,66 cm à esquerda de q_{1})
e \displaystyle x\approx 3{,}66\\ \mathrm{cm} (medidos a partir de q_{1}, entre as duas cargas).

Exercícios relacionados