Seja F=(2 x y, x^2+2 y) um campo vetorial. Mostre que F é conservativo e calcule a integral de linha entre os pontos A(1,1) e B(2,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um campo vetorial F = (2xy, x^2 + 2y) e pede para a gente mostrar que ele é conservativo. Depois, precisamos calcular a integral de linha desse campo entre os pontos A(1,1) e B(2,3). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar, ou seja, existe uma função f(x, y) tal que F = nabla f. Uma das propriedades importantes dos campos conservativos é que a integral de linha entre dois pontos depende apenas dos pontos, não do caminho seguido.

Passo 3

Para mostrar que F é conservativo, podemos verificar se as derivadas parciais do campo satisfazem a condição de igualdade das derivadas cruzadas. Para um campo F = (P, Q), ele é conservativo se:
partial Ppartial y = partial Qpartial x
Vamos calcular essas derivadas para o nosso campo.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
P = 2xy Rightarrow partial Ppartial y = 2x
Q = x^2 + 2y Rightarrow partial Qpartial x = 2x
Como partial Ppartial y = partial Qpartial x = 2x, a condição é satisfeita. Portanto, o campo F é conservativo.

Passo 5

Agora que sabemos que F é conservativo, existe uma função potencial f(x, y) tal que F = nabla f. Vamos encontrar essa função f(x, y) integrando P em relação a x e depois encontrando a parte que falta a partir de Q.

Passo 6

Integrando P = 2xy em relação a x:
f(x, y) = integral 2xy , dx = x^2y + g(y)
Aqui, g(y) é uma função que depende só de y, pois a integral de P em relação a x pode ter uma função arbitrária de y.

Passo 7

Agora, vamos derivar f(x, y) em relação a y e igualar a Q para encontrar g(y):
partial fpartial y = x^2 + g'(y) = Q = x^2 + 2y
Assim:
x^2 + g'(y) = x^2 + 2y Rightarrow g'(y) = 2y
Integrando g'(y) em relação a y:
g(y) = y^2 + C
Onde C é uma constante, que podemos ignorar na função potencial.

Passo 8

Portanto, a função potencial é:
f(x, y) = x^2y + y^2
Agora podemos calcular a integral de linha usando essa função potencial.

Passo 9

A integral de linha de um campo conservativo entre dois pontos A e B é simplesmente:
f(B) - f(A)
Vamos calcular f nos pontos A(1,1) e B(2,3).

Passo 10

Calculando f(A):
f(1,1) = (1)^2(1) + (1)^2 = 1 + 1 = 2
Calculando f(B):
f(2,3) = (2)^2(3) + (3)^2 = 4 times 3 + 9 = 12 + 9 = 21

Resposta

A integral de linha de F entre os pontos A(1,1) e B(2,3) é 21 - 2 = 19.

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