Seja
um campo vetorial. Mostre que
é conservativo e calcule a integral de linha entre os pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um campo vetorial
e pede para a gente mostrar que ele é conservativo. Depois, precisamos calcular a integral de linha desse campo entre os pontos
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar, ou seja, existe uma função
tal que
. Uma das propriedades importantes dos campos conservativos é que a integral de linha entre dois pontos depende apenas dos pontos, não do caminho seguido.
Passo 3
Para mostrar que
é conservativo, podemos verificar se as derivadas parciais do campo satisfazem a condição de igualdade das derivadas cruzadas. Para um campo
, ele é conservativo se:
Vamos calcular essas derivadas para o nosso campo.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a condição é satisfeita. Portanto, o campo
é conservativo.
Passo 5
Agora que sabemos que
é conservativo, existe uma função potencial
tal que
. Vamos encontrar essa função
integrando
em relação a
e depois encontrando a parte que falta a partir de
.
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
, pois a integral de
em relação a
pode ter uma função arbitrária de
.
Passo 7
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
para encontrar
:
Assim:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma constante, que podemos ignorar na função potencial.
Passo 8
Portanto, a função potencial é:
Agora podemos calcular a integral de linha usando essa função potencial.
Passo 9
A integral de linha de um campo conservativo entre dois pontos
e
é simplesmente:
Vamos calcular
nos pontos
e
.
Passo 10
Calculando
:
Calculando
:
Resposta
A integral de linha de
entre os pontos
e
é
.