Verifique se a integral de linha
depende do caminho para o campo
. Considere
como sendo qualquer curva fechada.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que verificar se a integral de linha fechada
depende do caminho
que a curva fechada pode ser. O campo vetorial dado é
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se um campo vetorial for conservativo, então a integral de linha fechada sobre qualquer curva será zero e, portanto, não dependerá do caminho. Então, nossa missão é verificar se o campo
é conservativo.
Passo 3
Para verificar se um campo é conservativo, uma das maneiras é calcular a sua derivada cruzada ou rotacional. Na busca bidimensional, o rotacional de
é dado por:
Vamos calcular isso para o nosso campo.
Passo 4
Identificando
e
, então:
Portanto:
Passo 5
O rotacional de
não é zero (
), o que significa que o campo não é conservativo. Assim, a integral de linha fechada
pode depender do caminho
escolhido.
Resposta
A integral de linha fechada
depende do caminho para o campo
.