Verifique se a integral de linha ointC F cdot d r depende do caminho para o campo F=(y,-x). Considere C como sendo qualquer curva fechada.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que verificar se a integral de linha fechada ointC F cdot d r depende do caminho C que a curva fechada pode ser. O campo vetorial dado é F = (y, -x). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se um campo vetorial for conservativo, então a integral de linha fechada sobre qualquer curva será zero e, portanto, não dependerá do caminho. Então, nossa missão é verificar se o campo F = (y, -x) é conservativo.

Passo 3

Para verificar se um campo é conservativo, uma das maneiras é calcular a sua derivada cruzada ou rotacional. Na busca bidimensional, o rotacional de F = (P, Q) é dado por:
rot , F = partial Qpartial x - partial Ppartial y
Vamos calcular isso para o nosso campo.

Passo 4

Identificando P = y e Q = -x, então:
partial Qpartial x = partial (-x)partial x = -1
partial Ppartial y = partial ypartial y = 1
Portanto:
rot , F = -1 - 1 = -2

Passo 5

O rotacional de F não é zero ( rot , F = -2 neq 0), o que significa que o campo não é conservativo. Assim, a integral de linha fechada ointC F cdot d r pode depender do caminho C escolhido.

Resposta

A integral de linha fechada ointC F cdot d r depende do caminho para o campo F = (y, -x).

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