Questão 4. (\mathbf{1 , 5}) Uma carga pontual q está a uma distância d acima de uma placa quadrada de lado d, especificamente, acima de um dos vértices. Determine o fluxo do campo elétrico dessa carga pontual sobre a superfície da placa.
\begin{aligned} & \vec{F}=\frac{K q_{1} q_{2}}{r^{2}} \hat{r} \quad F=\frac{K q_{1} q_{2}}{r^{2}} \quad \vec{E}=\frac{K q}{r^{2}} \hat{r} \quad E=\frac{K q}{r^{2}} \\ & K=9,0 \times 10^{9} \frac{\mathrm{Nm}^{2}}{\mathrm{C}^{2}} \quad \varepsilon_{o}=8,85 \times 10^{-12} \frac{\mathrm{C}^{2}}{\mathrm{Nm}^{2}} \quad K=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{o}} \\ & \int \frac{u \mathrm{~d} u}{\left(u^{2}+a^{2}\right)^{3 / 2}}=-\frac{1}{\sqrt{u^{2}+a^{2}}} \quad \int \frac{\mathrm{~d} u}{\left(u^{2}+a^{2}\right)^{3 / 2}}=\frac{u}{a^{2} \sqrt{u^{2}+a^{2}}} \\ & d V=d x d y d z \quad d V=r d \varphi d r d z \quad d V=r^{2} \operatorname{sen} \theta d \varphi d \theta d r \quad \Phi_{E}=\int \vec{E} \cdot d \vec{A} \end{aligned}

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma carga pontual q localizada a uma distância d acima de um dos vértices de uma placa quadrada de lado d. Queremos o fluxo do campo elétrico por essa placa, definido por
\Phi_E = \int \vec E \cdot d\vec A
e que pode ser expresso em termos de ângulo sólido como
\Phi = \frac{q}{\varepsilon_0}\,\frac{\Omega}{4\pi}.
Para resolver, bastará calcular o ângulo sólido \Omega subtendido pela placa vista da carga.

Passo 2

O ângulo sólido subtendido por um retângulo de lados a e b, visto de um ponto a uma distância d perpendicular ao seu vértice, é
\Omega = \arctan\!\Bigl(\frac{a\,b}{d\sqrt{a^2+b^2+d^2}}\Bigr).
No nosso caso a=b=d, logo
\Omega = \arctan\!\Bigl(\frac{d^2}{d\sqrt{d^2+d^2+d^2}}\Bigr) = \arctan\!\Bigl(\frac{d^2}{d^2\sqrt{3}}\Bigr) = \arctan\!\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) = \frac{\pi}{6}.

Passo 3

Substituindo \Omega=\pi/6 na relação do fluxo:
\Phi = \frac{q}{\varepsilon_0}\,\frac{\pi/6}{4\pi} = \frac{q}{\varepsilon_0}\,\frac{1}{24} = \frac{q}{24\,\varepsilon_0}.

Resposta

\Phi = \frac{q}{24\,\varepsilon_0}.

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