(Campo elétrico) Duas cargas idênticas
estão nos pontos
. Calcule o módulo do campo elétrico resultante no ponto
. Resposta:
. Componentes em
cancelam; em
somam:
, para
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou escrever exatamente o que foi dado, com as vírgulas decimais como no enunciado):\n
- Duas cargas idênticas
estão nos pontos .\n - Queremos o módulo do campo elétrico resultante no ponto
.\n
Observação importante (para não ficar confuso durante a resolução): a solução apresentada no enunciado usa a mesma distânciaao longo de duas direções perpendiculares, o que indica que, geometricamente, cada carga está a do ponto em coordenadas ortogonais (daí aparecer ). Vou trabalhar com essa configuração geométrica que é consistente com a resposta dada (ou seja: as distâncias horizontais e verticais entre cada carga e são ambas ).\n
Dados numéricos organizados:\n
\n
Constante eletrostática (valor que usaremos):\n
distâncias indicadas:(em cada uma das duas direções perpendiculares que ligam carga a ).\n
Passo 2
Entendendo a física: a lei de Coulomb dá o campo elétrico gerado por uma carga pontual. Ela diz que o módulo do campo devido a uma carga puntiforme
, a uma distância
dela, é\n
\n
Aqui:\n
-
é a constante eletrostática ( ).\n -
é a carga que gera o campo (aqui ).\n -
é a distância do ponto onde queremos o campo até a carga.\n
O campo é um vetor: além do módulo dado acima, tem direção radial (afastando-se da carga se, aproximando-se se ). Para várias cargas, o campo total é a soma vetorial dos campos individuais (princípio da superposição).\n
Na prática, usaremos a decomposição vetorial do campo de cada carga nas direções coordenadas apropriadas, somamos componente a componente e obtemos o módulo final.
Passo 3
Geometria do problema (como vamos usar na conta):\n
- Cada carga está a uma distância perpendicular de
de em uma direção e a em outra direção (essas duas direções são ortogonais). Portanto a distância do ponto até cada carga é\n \n
Vamos calcular esse
explicitamente para usar em Coulomb:\n
Passo 4
Campo devido a uma carga isolada (magnitude) no ponto
:\n
Usando
, com
e
, temos\n
\n
Calculemos passo a passo os fatores numéricos:\n
\n
Dividindo por
dá\n
Passo 5
Direção e decomposição das componentes do campo de cada carga:\n
- Cada carga é positiva, então o campo devido a cada uma em
aponta radialmente para fora da carga (isto é, do local da carga em direção a ).\n - Pela geometria (duas cargas simétricas em relação ao eixo que passa por
), as componentes ao longo do eixo que liga as duas cargas (a componente horizontal que aponta para esquerda/direita) se anulam por simetria: uma carga dá uma componente e a outra dá de mesmo módulo.\n - As componentes perpendiculares a esse eixo (no eixo que aponta de ambas as cargas para
) têm o mesmo sinal e se somam.\n
Matematicamente: a componente do campo de uma carga ao longo da direção que une carga e
(chame de direção radial) tem módulo
. A componente na direção que queremos (a componente “vertical” ou “ortogonal” que se soma) é\n
\n
onde
é o cosseno do ângulo entre o vetor radial e a direção que queremos (a razão entre a projeção e a hipotenusa). No nosso caso a “proximal” é
e a hipotenusa é
. Portanto a componente de cada carga na direção que soma é\n
Passo 6
Soma vetorial final:\n
- Como há duas cargas e as componentes dessa direção para cada carga têm o mesmo sentido, somamos duas vezes a componente calculada:\n
\n
Substituindo os valores numéricos: usamos
(do Passo 4) e
. Então\n
\n
Calcule a fração numérica:\n
(porque
). Mais explicitamente,
.\n
Portanto\n
\n
Arredondando de forma conveniente (duas casas significativas compatíveis com os dados), obtemos\n
Passo 7
Direção do campo resultante e conclusão didática:\n
- Pelo sinal das cargas (positivas) e pela geometria (ambas empurram o campo na mesma direção perpendicular ao eixo de simetria), o vetor campo resultante aponta para o sentido positivo do eixo perpendicular escolhido (na solução original esse eixo é o
).\n - Em resumo: o módulo do campo é aproximadamente
e a direção é para (ou, em termos geométricos, na direção que fica no lado de em relação às cargas, conforme a figura implícita).