O campo elétrico E1 em uma das faces de um paralelepípedo é uniforme em todos os pontos dessa face e aponta perpendicularmente para fora da face. Na face oposta, o campo elétrico E2 também é uniforme em todos os pontos e aponta perpendicularmente para dentro da face. As duas faces mencionadas possuem inclinação de 30^circ em relação à horizontal, enquanto E1 e E2 são ambos horizontais; o módulo de E1 é igual a 2,5 times 10^4 N / C e o módulo de E2 é igual a 7,0 times 10^4 N / C. Supondo que nenhuma outra linha de campo atravesse as superfícies do paralelepípedo, determine a carga líquida contida em seu interior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um paralelepípedo com duas faces onde os campos elétricos são uniformes. Uma face tem o campo elétrico E1 saindo perpendicularmente, e a face oposta tem o campo E2 entrando perpendicularmente. Ambas as faces estão inclinadas 30^circ em relação à horizontal, e os campos são horizontais. Os valores dos campos elétricos são 2,5 times 10^4 , N/C e 7,0 times 10^4 , N/C, respectivamente. Queremos encontrar a carga líquida dentro desse paralelepípedo. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é fluxo elétrico. O fluxo elétrico ( Phi) através de uma superfície é dado por:
Phi = E cdot A = E cdot A cdot cos(theta)
Onde:
  • E é o campo elétrico,
  • A é o vetor área da superfície,
  • A é a área da superfície,
  • theta é o ângulo entre o campo elétrico e a normal à superfície.

Passo 3

Como as faces estão inclinadas 30^circ em relação à horizontal e os campos elétricos são horizontais, o ângulo theta entre o campo e a normal à superfície é 30^circ. Vamos calcular o fluxo elétrico através de cada face.
Para a face com E1 saindo:
Phi1 = E1 cdot A cdot cos(30^circ)
Para a face com E2 entrando:
Phi2 = -E2 cdot A cdot cos(30^circ)
(O sinal negativo porque o campo está entrando na superfície.)

Passo 4

O fluxo elétrico total ( Phitotal) pelo paralelepípedo é a soma dos fluxos pelas duas faces:
Phitotal = Phi1 + Phi2 = E1 cdot A cdot cos(30^circ) - E2 cdot A cdot cos(30^circ)
Phitotal = (E1 - E2) cdot A cdot cos(30^circ)

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss, sabemos que:
Phitotal = Qdentrovarepsilon0
Onde varepsilon0 = 8,85 times 10^-12 , C^2/N·m^2 é a constante de permissividade do vácuo.
Igualando as duas expressões para Phitotal:
(E1 - E2) cdot A cdot cos(30^circ) = Qdentrovarepsilon0
Queremos encontrar Qdentro:
Qdentro = (E1 - E2) cdot A cdot cos(30^circ) cdot varepsilon0

Resposta

A carga líquida contida no interior do paralelepípedo é:
Qdentro = (2,5 times 10^4 , N/C - 7,0 times 10^4 , N/C) cdot A cdot cos(30^circ) cdot 8,85 times 10^-12 , C^2/N·m^2
Simplificando:
Qdentro = -4,5 times 10^4 , N/C cdot A cdot raiz32 cdot 8,85 times 10^-12 , C^2/N·m^2
Portanto, a carga líquida é negativa e depende da área A das faces do paralelepípedo.

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