Usando V=integral k d q / r, (a) calcule o potencial elétrico criado por um disco carregado, de raio R, num ponto ao longo do eixo que passa pelo centro do disco. A partir dessa expressão para o potencial, ache a componente do campo elétrico nessa direção. Compare o valor do campo com o valor obtido por integração direta. (b) Refaça os cálculos supondo que o disco esteja carregado com uma distribuição não uniforme dada por sigma=5 rho em mu C / m^2, onde rho é a distância de um elemento de carga sobre o disco até o centro do disco.

Passo 1

Beleza, então temos um disco de raio V(z) ;=;integral k,dqr, com carga distribuída sobre a superfície. O objetivo é calcular primeiro o potencial elétrico num ponto que fica a uma distância ao longo do eixo que passa pelo centro do disco, usando
Aqui o conteúdo é Eletrostática de distribuições contínuas de carga e Potencial Elétrico. Vamos precisar:
  1. Escrever em função da densidade de carga e das coordenadas do disco.
  2. Fazer a integral para achar .
  3. Derivar em relação a para obter a componente do campo .
  4. Repetir tudo para o caso da densidade não uniforme .
A partir do próximo passo, já partimos para os cálculos.

Passo 2

Cálculo de V(z)=integral0^R k,dqr =integral0^R k,sigma,2pirho,drhoraizrho^2+z^2 para disco uniformemente carregado ( constante)
  1. Escolhemos coordenadas cilíndricas: cada anel de raio e espessura tem área .
  2. A carga desse anel é .
  3. A distância do elemento até o ponto no eixo é .
  4. Então

Passo 3

Avaliação da integral de integral rho,drhoraizrho^2+z^2 =raizrho^2+z^2, para o disco uniforme
A gente usa a primitiva
V(z) =2pi ksigma;l[raizrho^2+z^2r]0^R =2pi ksigma;l(raizR^2+z^2-zr),
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onde consideramos .

Passo 4

Componente Ez(z) =-ddzl[2pi ksigma,(raizR^2+z^2-z)r] =-2pi ksigmal(zraizR^2+z^2-1r) via derivada de Ez(z)=2pi ksigmal(1-zraizR^2+z^2r)
Lembrando que , temos
Reorganizando,

Passo 5

Comparação com a integração direta do campo
Se em vez de derivar Ez=integral k,dq;z(rho^2+z^2)^3/2, a gente fizesse
o resultado bate exatamente com
.
Isso confirma que derivar e integrar diretamente o campo dão o mesmo.

Passo 6

Caso (b): disco com densidade não uniforme V(z)=integral0^R k,dqraizrho^2+z^2 =10pi kintegral0^R rho^2,drhoraizrho^2+z^2 (em )
Agora .
Reescrevemos

Passo 7

Avaliação da integral pro caso não uniforme
Usamos a primitiva
integral rho^2,drhoraizrho^2+z^2 =12l[rhoraizrho^2+z^2-z^2lnl(rho+raizrho^2+z^2r)r]
Então
V(z) =10pi kcdot12l[rhoraizrho^2+z^2 -z^2lnl(rho+raizrho^2+z^2r)r]0^R
=5pi kl[RraizR^2+z^2-z^2ln!l(R+raizR^2+z^2r) +z^2ln zr]

Passo 8

Componente Ez(z)= -5pi kl[z,RraizR^2+z^2 -2zln!l(R+raizR^2+z^2r) -z^3(raizR^2+z^2)(R+raizR^2+z^2) +2zln zr], no caso não uniforme
De novo . Derivando a expressão acima (sacando termo a termo), obtém-se
que pode ser simplificado, mas a ideia é essa: derivar cada parte.

Resposta

(a) Disco uniforme ( boxedV(z)=2pi ksigmal(raizR^2+z^2-zr), Ez(z)=2pi ksigmal(1-zraizR^2+z^2r) constante):
boxedV(z) =5pi kl[RraizR^2+z^2-z^2ln!l(tfracR+raizR^2+z^2,z,r)r],
Isso bate com a integração direta de boxedEz(z)=-dVdz (expressão obtida derivando termo a termo conforme o Passo 8) .
(b) Disco com :
ã

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