Usando
, (a) calcule o potencial elétrico criado por um disco carregado, de raio
, num ponto ao longo do eixo que passa pelo centro do disco. A partir dessa expressão para o potencial, ache a componente do campo elétrico nessa direção. Compare o valor do campo com o valor obtido por integração direta. (b) Refaça os cálculos supondo que o disco esteja carregado com uma distribuição não uniforme dada por
, onde
é a distância de um elemento de carga sobre o disco até o centro do disco.
Passo 1
Beleza, então temos um disco de raio
com carga distribuída sobre a superfície. O objetivo é calcular primeiro o potencial elétrico
num ponto que fica a uma distância
ao longo do eixo que passa pelo centro do disco, usando
Aqui o conteúdo é Eletrostática de distribuições contínuas de carga e Potencial Elétrico. Vamos precisar:
- Escrever
em função da densidade de carga e das coordenadas do disco. - Fazer a integral para achar
. - Derivar
em relação a para obter a componente do campo . - Repetir tudo para o caso da densidade não uniforme
.
A partir do próximo passo, já partimos para os cálculos.
Passo 2
Cálculo de
para disco uniformemente carregado (
constante)
- Escolhemos coordenadas cilíndricas: cada anel de raio
e espessura tem área . - A carga desse anel é
. - A distância do elemento até o ponto no eixo é
. - Então
Passo 3
Avaliação da integral de
para o disco uniforme
A gente usa a primitiva
A gente usa a primitiva
Logo
onde consideramos
.
Passo 4
Componente
via derivada de
Lembrando que , temos
Lembrando que
Reorganizando,
Passo 5
Comparação com a integração direta do campo
Se em vez de derivar a gente fizesse
Se em vez de derivar
o resultado bate exatamente com
.
Isso confirma que derivar e integrar diretamente o campo dão o mesmo.
Isso confirma que derivar
Passo 6
Caso (b): disco com densidade não uniforme
(em
)
Agora .
Reescrevemos
Agora
Reescrevemos
Passo 7
Avaliação da integral pro caso não uniforme
Usamos a primitiva
Usamos a primitiva
Então
Passo 8
Componente
no caso não uniforme
De novo . Derivando a expressão acima (sacando termo a termo), obtém-se
De novo
que pode ser simplificado, mas a ideia é essa: derivar cada parte.
Resposta
(a) Disco uniforme (
constante):
Isso bate com a integração direta de
.
(b) Disco com
: