Um campo elétrico \mathbf{E}=(100 x \hat{\mathbf{a}} \mathbf{x}+50 y \hat{\mathbf{a}}) \mathrm{V} / \mathrm{m} atravessa um dielétrico \operatorname{com} \epsilon_{r}=5. Calcule o fluxo elétrico através de uma superfície esférica de raio 1 m centrada na origem usando integrais de superfície.

Passo 1

Temos um campo elétrico
\mathbf{E}(x,y,z)=100\,x\,\hat{\mathbf{a}}_{x}+50\,y\,\hat{\mathbf{a}}_{y}
e queremos o fluxo
\Phi=\iint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}
através de uma esfera de raio R=1 m centrada na origem. O conteúdo aqui é aplicar integrais de superfície em coordenadas esféricas. Note que a presença do dielétrico ( \epsilon_{r}=5) não altera o valor do fluxo de \mathbf{E}, pois \mathbf{E} já está dado.

Passo 2

Na esfera de raio R, o vetor normal à superfície é \hat{\mathbf{n}}=\hat{\mathbf{r}} e o elemento de área é
d\mathbf{S}=\hat{\mathbf{r}}\,R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi,
onde \theta\in[0,\pi] é o ângulo polar e \varphi\in[0,2\pi] o azimutal.

Passo 3

Em coordenadas esféricas,
x=R\sin\theta\cos\varphi,\quad y=R\sin\theta\sin\varphi,
logo em R=1 a componente do campo vale
\mathbf{E}=100\sin\theta\cos\varphi\,\hat{\mathbf{a}}_{x} +50\sin\theta\sin\varphi\,\hat{\mathbf{a}}_{y}.

Passo 4

O produto escalar com o normal é
\mathbf{E}\cdot\hat{\mathbf{r}} =100\sin\theta\cos\varphi\,( \sin\theta\cos\varphi ) +50\sin\theta\sin\varphi\,( \sin\theta\sin\varphi ) =\sin^{2}\theta\bigl(100\cos^{2}\varphi+50\sin^{2}\varphi\bigr).

Passo 5

O fluxo fica
\Phi =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi} \bigl[\sin^{2}\theta\,(100\cos^{2}\varphi+50\sin^{2}\varphi)\bigr] \;R^{2}\sin\theta\;d\theta\,d\varphi
com R=1, isto é
\Phi =\int_{0}^{2\pi}\!(100\cos^{2}\varphi+50\sin^{2}\varphi)\,d\varphi \;\times\;\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta.

Passo 6

Calculamos separadamente:
\int_{0}^{2\pi}(100\cos^{2}\varphi+50\sin^{2}\varphi)\,d\varphi =100\pi+50\pi=150\pi,
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta =\frac{4}{3}.
Multiplicando,
\Phi=150\pi\times\frac{4}{3}=200\pi.

Resposta

\Phi = 200\pi\\ \mathrm{V\cdot m}

Exercícios relacionados