Um condutor esférico de raio r=2.5 \mathrm{~m} possui uma carga Q=10 \mu \mathrm{C}. Determine o campo elétrico vetorial em coordenadas esféricas ( r=3 \mathrm{~m}, \theta=0, \varphi=0 ) usando integrais de volume.

Passo 1

O enunciado dá um condutor esférico de raio r_{0}=2{,}5\,\mathrm{m} que carrega uma carga total Q=10 \mu\mathrm{C}. Queremos o campo elétrico vetorial em coordenadas esféricas no ponto \bigl(r=3\,\mathrm{m},\theta=0,\varphi=0\bigr), usando a integral de volume da lei de Coulomb. O conteúdo é eletrostática, simetria esférica e integral de Coulomb para distribuição contínua de carga.

Passo 2

Como queremos usar integral de volume, modelamos a distribuição como uniforme dentro da esfera (mesmo que, no condutor ideal, a carga fique na superfície, o campo externo é o mesmo). A densidade volumétrica é
\rho = \begin{cases} \dfrac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi r_{0}^{3}},& r'<r_{0},\\\\ 0,& r'>r_{0}. \end{cases}
Pela lei de Coulomb contínua, em \vec r o campo é
\vec E(\vec r) =\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \int_{V'}\rho\,\frac{\vec r-\vec r'}{|\vec r-\vec r'|^{3}}\,dV'\,.

Passo 3

Para r=|\vec r|>r_{0}, a simetria esférica garante que toda carga age como se concentrada no centro. Portanto a integral acima reduz-se ao resultado conhecido
\vec E(\vec r) =\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\;\frac{Q}{r^{2}}\;\hat r\,,
onde \hat r é o versor radial em coordenadas esféricas.

Passo 4

Agora basta avaliar em r=3\,\mathrm{m}. Substituindo Q=10\times10^{-6}\,\mathrm{C} e r=3\,\mathrm{m}:
E_{r} =\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\;\frac{10\times10^{-6}}{(3)^{2}} =\frac{9\times10^{9}\times10^{-5}}{9} =10^{4}\,\mathrm{N/C}.
Como só há componente radial, E_{\theta}=0 e E_{\varphi}=0.

Resposta

Em coordenadas esféricas, no ponto (r=3\,\mathrm{m},\theta=0,\varphi=0):
\vec E =E_{r}\,\hat r =10^{4}\,\hat r\;\mathrm{N/C}, \quad E_{\theta}=0, \quad E_{\varphi}=0.

Exercícios relacionados