Um condutor cilíndrico de raio r=0.1 \mathrm{~m} carrega Q=15 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}. Encontre o campo elétrico vetorial a 0.15 m da superfície em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado dá um condutor cilíndrico infinito de raio a=0{,}1\\ \mathrm{m} com densidade de carga linear \lambda=15\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m}. Pede-se o campo elétrico a uma distância de 0{,}15\\ \mathrm{m} da superfície, isto é, a distância do eixo vale
\rho = a + 0{,}15 = 0{,}25\\ \mathrm{m}.
Vamos usar a Lei de Gauss em coordenadas cilíndricas para um condutor cilíndrico infinito.

Passo 2

Escolhemos como superfície de Gauss um cilindro coaxial de raio genérico \rho e comprimento L. Por simetria, o campo elétrico fora do condutor é radial e de mesmo módulo em toda a superfície lateral do cilindro.

Passo 3

A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico é igual à carga interna sobre \varepsilon_0:
\Phi = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(\rho)\,(2\pi \rho L) = \frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_0} = \frac{\lambda\,L}{\varepsilon_0}.
Assim
E(\rho)\;=\;\frac{\lambda}{2\pi\,\varepsilon_0\,\rho}.

Passo 4

Substituindo \rho=0{,}25\\ \mathrm{m}, \lambda=15\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m} e \varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)},
E(0{,}25) = \frac{15\times10^{-6}}{2\pi\,(8{,}85\times10^{-12})\,(0{,}25)} \approx 1{,}08\times10^{6}\\ \mathrm{N/C}.

Resposta

\boxed{ \mathbf{E}(\rho=0{,}25\\ \mathrm{m}) = 1{,}08\times10^{6}\\ \hat{e}_\rho\\ \mathrm{N/C} }.

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