Um sistema de transmissão tem uma corrente \mathbf{J}=(2 x \hat{\mathbf{a}} \mathbf{x}+3 y \hat{\mathbf{a}} \mathbf{y}) \mathrm{A} / \mathrm{m}^{2}. Verifique a equação da continuidade em um volume cúbico de lado 0.1 m e derive a densidade de carga temporal.

Passo 1

O enunciado dá a densidade de corrente
\mathbf{J} = (2x\,\hat{\mathbf{a}}_x + 3y\,\hat{\mathbf{a}}_y)\\ \mathrm{A/m^2}
e pede para verificar a equação de continuidade
\nabla\cdot \mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0
num cubo de lado 0,1\\ \mathrm{m} e derivar a taxa \partial \rho/\partial t. Vamos precisar calcular o divergente de \mathbf{J}, usar a equação de continuidade e, em seguida, fazer o balanço de corrente num volume de V=(0,1\\ \mathrm{m})^3.

Passo 2

Calculamos o divergente de \mathbf{J}:
\nabla\cdot \mathbf{J} = \frac{\partial}{\partial x}(2x) + \frac{\partial}{\partial y}(3y) = 2 + 3 = 5\\ \mathrm{A/m^3}.

Passo 3

Pela equação de continuidade
\nabla\cdot \mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0,
segue que
\frac{\partial \rho}{\partial t} = -\,\nabla\cdot \mathbf{J} = -5\\ \mathrm{C/(m^3\cdot s)}.

Passo 4

Agora verificamos diretamente pelo fluxo de corrente nas faces do cubo. Cada face tem área A=(0,1)^2=0{,}01\\ \mathrm{m^2}. Em x=0{,}1 a componente J_x=2x vale 2\cdot0{,}1=0{,}2\\ \mathrm{A/m^2}, logo a corrente saindo na face x=0{,}1 é
I_{x+} = J_x(x=0{,}1)\,A = 0{,}2 \times 0{,}01 = 0{,}002\\ \mathrm{A}.
Na face x=0 temos J_x=0 e, como não há componente em z, o fluxo total nas faces em y é análogo: em y=0{,}1
J_y=3y=3\cdot0{,}1=0{,}3\\ \mathrm{A/m^2},\quad I_{y+}=0{,}3\times0{,}01=0{,}003\\ \mathrm{A},
e nas faces opostas I_{x-}=I_{y-}=0. Então a corrente total saindo é
I_{\rm out}=I_{x+}+I_{x-}+I_{y+}+I_{y-}=0{,}002+0+0{,}003+0=0{,}005\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Pela conservação de carga, a variação de carga no volume é
\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = -\,I_{\rm out} = -0{,}005\\ \mathrm{A}.
Como \rho = Q/V e V=0{,}1^3=0{,}001\\ \mathrm{m^3}, temos
\frac{\partial \rho}{\partial t} = \frac{1}{V}\,\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = \frac{-0{,}005}{0{,}001} = -5\\ \mathrm{C/(m^3\cdot s)}.

Passo 6

O resultado via divergente ( -5\\ \mathrm{C/(m^3\cdot s)}) coincide com o obtido pelo fluxo de corrente, confirmando a equação de continuidade.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} = -5\\ \mathrm{C/(m^3\cdot s)}.

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