Um campo elétrico não uniforme é dado pela expressão:
\vec{E}=a y \hat{x}+b z \hat{y}+c x \hat{z},
onde a, b e c são constantes.
Determine o fluxo do campo elétrico através de uma superfície retangular contida no plano x y e com dois lados indo de x=0 até x=w e y=0 até \mathrm{y}=h.

Passo 1

O enunciado fornece o campo elétrico
\vec{E}=a\,y\,\hat{x}+b\,z\,\hat{y}+c\,x\,\hat{z}
e pede o fluxo desse campo através de um retângulo no plano xy que vai de x=0 até x=w e de y=0 até y=h. O conteúdo necessário é a definição de fluxo de um campo vetorial numa superfície aberta:
\Phi = \iint_{S} \vec{E}\cdot\hat{n}\,dS.

Passo 2

Como a superfície está no plano xy, ela tem coordenada z= constante e o vetor normal unitário, tomando a orientação “para cima”, é \hat{n}=\hat{z}. Além disso, o elemento de área é
dS=dA=dx\,dy,
com 0\le x\le w e 0\le y\le h.

Passo 3

Precisamos do produto escalar \vec{E}\cdot\hat{n}. Como
\vec{E}=a\,y\,\hat{x}+b\,z\,\hat{y}+c\,x\,\hat{z} \quad\text{e}\quad \hat{n}=\hat{z},
vem
\vec{E}\cdot\hat{n}=c\,x.
Logo o fluxo é
\Phi=\iint_{S}c\,x\,dx\,dy.

Passo 4

Agora calculamos a integral dupla:
\Phi = c\int_{x=0}^{w}\int_{y=0}^{h}x\,dy\,dx = c\int_{0}^{w}\Bigl[x\,(y)\Bigr]_{y=0}^{h}dx = c\int_{0}^{w}h\,x\,dx = c\,h\int_{0}^{w}x\,dx = c\,h\;\frac{w^{2}}{2}.

Resposta

\Phi = \frac{c\,h\,w^{2}}{2}.

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