O campo elétrico de uma onda eletromagnética plana se propagando no vácuo é dado por E(x, t)=E0 e^-beta(x-c t)^2 j, onde beta é uma constante positiva.
(a) (1,0 ponto) Calcule o vetor campo magnético desta onda. Deixe sua resposta em termos dos dados do enunciado.
(b) (0,5 ponto) Calcule o vetor de Poynting associado a esta onda.
© (1,0 ponto) Considere agora que a onda atinge uma placa perfeitamente absorvedora de área A, paralela ao plano y z. Calcule a energia total transferida pela onda à placa no intervalo de tempo t=(-infty,+infty).

Passo 1

O enunciado descreve uma onda eletromagnética plana no vácuo, com campo elétrico gaussiano propagando-se em +x: vec E(x,t)=E0e^-beta(x-ct)^2,hat j. Vamos usar teoria de ondas planas em vácuo: relação entre vec E e vec B, definição do vetor de Poynting e cálculo de energia incidente em placa absorvedora.

Passo 2

Em ondas planas no vácuo, o campo magnético satisfaz vec B=(1/c),hat ntimesvec E, onde hat n=hat i é direção de propagação. Como vec E está em hat j, temos
vec B(x,t)=1c$E0e^-beta(x-ct)^2$,(hat itimeshat j)=E0ce^-beta(x-ct)^2,hat k

Passo 3

O vetor de Poynting é definido por vec S=(1/mu0),vec Etimesvec B. Aqui
vec Etimesvec B=$E0e^-beta(x-ct)^2hat j$timesE0ce^-beta(x-ct)^2hat k=E0^2ce^-2beta(x-ct)^2,hat i,
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vec S(x,t)=1mu0E0^2ce^-2beta(x-ct)^2,hat i=E0^2mu0ce^-2beta(x-ct)^2,hat i

Passo 4

Para a placa absorvedora de área A paralela a yz, toda energia incidente é dada por
W=Aintegral-infty^+inftySx(xplaca,t),dt=E0^2Amu0cintegral-infty^+inftye^-2beta(xplaca-ct)^2dt

Passo 5

Fazendo a troca de variável u=xplaca-ct (com dt=-du/c) obtemos uma integral gaussiana padrão e achamos
W=E0^2Amu0c^2raizpi2beta=varepsilon0E0^2Araizpi2beta

Resposta

(a) vec B(x,t)=E0ce^-beta(x-ct)^2,hat k
(b) vec S(x,t)=E0^2mu0ce^-2beta(x-ct)^2,hat i
© W=varepsilon0E0^2Araizpi2beta

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